Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2011 Soru 3

[geo]

$m<n$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $p=\dfrac {n^2+m^2}{\sqrt{n^2-m^2}}$ olsun.

• $p$ nin asal sayı olmasını sağlayan üç tane $(m,n)$ pozitif tam sayı ikilisi bulunuz.
• $p$ bir asal sayı ise, $p\equiv 1 \pmod 8$ olduğunu gösteriniz.

(Okan Tekman)

[alpercay]

Kaynak: http://geomania.org/forum/fantezi-cebir/2011-ilkogretim-olimpiyati-2-asama-sinavi/

[geo]

• İfadenin rasyonel olması için $\sqrt{n^2-m^2}=k$ 'nın tamsayı yani $(k, m, n)$ 'nin pisagor üçlüsü olması gerekiyor. Ayrıca bu sayıların hepsini sabit bir $c$ tamsayısı ile çarptığımızda kesrin değeri de $k$ ile çarpılmış  olur.
  
  İfadeyi asal yapmak için aklımıza gelen ilk pisagor üçlüsünü deneyelim: $\dfrac{5^2+4^2}{3}=\dfrac{41}{3}$. $c=3$ aldığımızda $m=12, n=15$ için $p=41$ olur. Benzer şekilde diğer ikisini de bulalım.
  
  $\dfrac{5^2+3^2}{4}=\dfrac{17}{2}$, $c=2$, $m=6$, $n=10$, $p=17$.
  
  $\dfrac{13^2+5^2}{12}=\dfrac{97}{6}$, $c=6$, $m=30$, $n=78$, $p=97$.
  
• $(k, m, n)$ pisagor üçlüsü olduğundan $ebob(m,n)=d$ olmak üzere, aralarında asal öyle $x, y$ pozitif tamsayıları vardır ki, $n=d(x^2+y^2)$ ve $m=d(x^2-y^2)$ ya da $m=2dxy$ 'dir.
  I. Durum: $m=d(x^2-y^2)$ ise,
  $\dfrac{n^2+m^2}{\sqrt{n^2-m^2}}=\dfrac{d(x^4+y^4)}{xy}=p$. İfadenin tamsayı olması için $x$ ve $y$ nin payı bölmesi gerekir. $ebob(x,y)=1$ olduğundan $ebob(xy, x^4+y^4)=1$ olur. Bu durumda $xy$, $d$'yi bölmelidir. Fakat $p$ asal olduğundan $xy=d$ olmalıdır. O halde $p=x^4+y^4$ olur. $x$ ve $y$ den biri tek diğeri çift olduğundan $p \equiv 1 \pmod 8$ olur.
  
  II. Durum $m=d(2xy)$ ise,
  $\dfrac{n^2+m^2}{\sqrt{n^2-m^2}}=d\dfrac{x^4+y^4+6x^2y^2}{x^2-y^2}=d\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2+8x^2y^2}{x^2-y^2}=d\left(x^2-y^2\right)^2+d\dfrac{8x^2y^2}{x^2-y^2}=p$.
  $p$ nin tamsayı olması için $d\dfrac{8x^2y^2}{x^2-y^2}$ ifadesinin tamsayı olması gerekir. $x$ ile $y$ aralarında asal olduğundan $ebob(x^2y^2,x^2-y^2)=1$ olur. Yani $x^2-y^2$, $8d$'yi böler. Ayrıca $p$ asal olduğundan $x^2-y^2$ aynı zamanda $d$ 'nin katı olmak zorundadır. $x^2-y^2$; $d, 2d, 4d$ ya da $8d$ dir.
  
  • $x^2-y^2=d$ ise, $p=d^2+8x^2y^2$ asal ise $d$ tek olmalı yani $p \equiv d^2 \equiv 1 \pmod 8$
  • $x^2-y^2=2d$ ise, $p=2d^2+4x^2y^2$ asal olamaz.
  • $x^2-y^2=4d$ ise, $p=4d^2+2x^2y^2$ asal olamaz.
  • $x^2-y^2=8d$ ise, $p=8d^2+x^2y^2$, $x$ ve $y$ den en az biri çift olduğundan, asal olamaz.

Kaynak:
Serdar ADA