Çözüm (Lokman GÖKÇE): İki küp toplamı özdeşliğinden $(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)^2$ yazalım. $x+y=0$ olan tüm ikililer $(x,y)=(x,-x)$ olup buradan sonsuz çoklukta çözüm elde edilir.
Şimdi de $x+y\neq 0$ olan çözümleri bulalım. Denklemi $(x+y)$ ile bölersek $$ x^2-(y+1)x+(y^2-y)=0 \tag{1}$$ denklemi elde edilir. $x$'e göre ikinci dereceden olan bu denklemin tam sayılarda çözümü olması için diskriminantı bir tam sayının karesine eşit olmalıdır. $n\geq 0$ bir tam sayı olmak üzere $\Delta = (y+1)^2-4(y^2-y)=n^2$ yazılır. Düzenlersek $$ n^2 + 3(y-1)^2=4 \tag{2}$$ olur. Buradan $n\in \{0,1,2\}$ dir. Bu durumları $(2)$ de yazarak inceleyelim.
$\bullet$ $n=0$ için $y \not\in \mathbb Z$ dir.
$\bullet$ $n=1$ için $y=0$, $y=2$ dir. Bu değerleri $(1)$ de yazalım. $y=0$ için $x^2-x=0$ olup $x=0$, $x=2$ dir. $x+y\neq 0$ şartı ile $(x,y)=(2,0)$ çözümü bulunur. $y=2$ için $x^2-3x+2=0$ olup $x=1$, $x=2$ dir. $(x,y)=(1,2), (2,2)$ çözümleri bulunur.
$\bullet$ $n=2$ için $y=1$ dir. Bu değeri $(1)$ de yazalım. $x^2-2x=0$ olup $x=0$, $x=2$ dir. $(x,y)=(0,1), (2,1)$ çözümleri bulunur.
Sonuç olarak, $x\in \mathbb Z$ olmak üzere tüm çözümler $(x,-x), (2,0), (1,2), (2,2), (0,1), (2,1)$ olarak elde edilir.
