Denklemin her iki tarafına $4$ ekleyelim. $1+\dfrac{k}{x-k}=\dfrac{x}{x-k}$ olduğundan,
$\dfrac{x}{x-3}+\dfrac{x}{x-5}+\dfrac{x}{x-17}+\dfrac{x}{x-19}=x(x-11)$
Bizden istenen kök pozitif olduğuna göre $x$ leri sadeleştirebiliriz.
$\Longrightarrow \dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-5}+\dfrac{1}{x-17}+\dfrac{1}{x-19}=x-11$
$\Longrightarrow \left(\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x-19}\right)+\left(\dfrac{1}{x-5}+\dfrac{1}{x-17}\right)=x-11$
$\Longrightarrow \dfrac{2(x-11)}{x^2-22x+57}+\dfrac{2(x-11)}{x^2-22x+85}=x-11$
$x=11$ bizim işimize yaramaz. $x-11$ leri de sadeleştirelim.
$\Longrightarrow \dfrac{1}{x^2-22x+57}+\dfrac{1}{x^2-22x+85}=\dfrac{1}{2}$
$x^2-22x+71=y$ dersek,
$\Longrightarrow \dfrac{1}{y-14}+\dfrac{1}{y+14}=\dfrac{1}{2}$
$\Longrightarrow \dfrac{2y}{y^2-196}=\dfrac{1}{2}$
$\Longrightarrow y^2-4y-196=0 \Longrightarrow (y-2)^2=200 \Longrightarrow y=2\pm10\sqrt2=2\pm\sqrt{200}$
$\Longrightarrow x^2-22x+71=2\pm\sqrt{200}$
$\Longrightarrow x^2-22x+121=52\pm\sqrt{200}\Longrightarrow (x-11)^2=52\pm\sqrt{200}$
$\Longrightarrow x=11\pm\sqrt{52\pm\sqrt{200}}$
Dolayısıyla aradığımız $a,b,c$ pozitif tamsayıları için $a=11, b=52, c=200$ olmalıdır. $\boxed{a+b+c=263}$ olduğunu görürüz.
