Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 36

[geo]

$a \neq -1$ olmak üzere, $a$ gerçel sayısı, $a^5 +5a^4 +10a^3 +3a^2 -9a-6 = 0$ eşitliğini sağlıyorsa, $(a + 1)^3$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 27
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$a = -1$ in polinomu $0$ yaptığı hemen görülebilir. Bu durumda $(a+1)$ bir çarpandır.

$ \begin{array}{rcl}
a^5 +5a^4 +10a^3 +3a^2 -9a-6 &=& (a+1)(a^4 + 4a^3 + 6a^2 -3a -6)\\
&=& (a+1)\left( (a+1)^4 -7a-7 \right) \\
&=& (a+1)^2\left( (a+1)^3 -7\right) \\
\end{array}$
$(a+1)^2 \neq 0$ olduğu için $(a+1)^3 = 7$.