$n$ sayısının 6 pozitif böleni varsa soru $3$ durum altında incelenebilir.
$i$) ($p$ asal sayı) $n=p^5$ durumu.
Bu durumda bölenler $1<p<p^2<p^3<p^4<p^5$ şeklinde olacaktır. Fakat $b(1+a+b)=p^2(1+p+p^2)$ ifadesi bu bölenlerden herhangi birine eşit olamaz. Çünkü bölenler $p^k$ formatında olup bu $1+p+p^2=p^m$ olmasını gerektirir, çelişki. Bu durumdan çözüm gelmez.
$ii$) ($p>q$ asal sayılar) $n=p^2\cdot q$ durumu.
Bu durumda bölenler $1<q<p<pq<p^2<p^2q$ şeklinde olacaktır çünkü $p>q$ koşulumuz vardır. O halde sayının $(q-1)$-inci böleni istenen koşulu sağlamalıdır. Bu ifadenin mantıklı olması için $q-1\leq 6\Rightarrow q\leq 7$ olmalıdır. $q$'nun değerleri için inceleyelim.
$a$) $q=2$ durumu. $1=p(p+3)$ olmalıdır, çelişki.
$b$) $q=3$ durumu. $3=p(p+4)$ olmalıdır. Çözüm gelmez.
$c$) $q=5$ durumu. $5p=p(p+6)$ olmalıdır. Çözüm gelmez.
$d$) $q=7$ durumu. $7p^2=p(p+8)\Rightarrow 6p=8$, çelişki.
Bu durumdan çözüm gelmez.
$iii$) ($p<q$ asal sayılar) $n=p^2\cdot q$ durumu.
Bu durumda bölenler $1<p<q<p^2<pq<p^2q$ şeklinde olacaktır çünkü $p<q$ koşulumuz vardır. Önceki durumdakiyle aynı sebepten $p\leq 7$ olmalıdır. $p$'nin değerleri için inceleyelim.
$a$) $p=2$ durumu. Çelişki gelir.
$b$) $p=3$ durumu. $3=q(q+4)$, çözüm gelmez.
$c$) $p=5$ durumu. $25=q(q+6)$, çözüm gelmez.
$d$) $p=7$ durumu. $49q=q(q+8)$ olup $q=41$ elde edilir.
O halde bunu sağlayan tek $n$ değeri $49\cdot 41=2009$ dur. $\blacksquare$
