Gönderen Konu: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 1  (Okunma sayısı 3015 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 414
  • Karma: +8/-0
Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 1
« : Nisan 27, 2016, 12:18:11 öö »
$p$ ve $q$ toplamları $3$ ile bölünmeyen asallar, $r$ ve $n$ birer pozitif tam sayı olmak üzere,$$p + q = r (p − q)^n$$eşitliğini sağlayan tüm $(p,q,r,n)$ dörtlülerini bulunuz.

(Şahin Emrah)
« Son Düzenleme: Nisan 27, 2016, 12:37:46 öö Gönderen: Eray »

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 1
« Yanıtla #1 : Nisan 30, 2016, 10:25:17 ös »
$p,q$ dan hiçbiri $3$ ile bölünmesin. O halde $3 \nmid p+q$ olduğundan $p \equiv q \pmod3$ olması gerekir. Ancak o zaman da $3 \mid p+q$ olması gerekir. Çelişki! O halde en az biri $3$ olmalıdır.

$p>q$ olduğu aşikardır. $q=3$ olmalı. $p+3=r(p-3)^n$ eşitliği sağlanmalı. $p=5$ için $(5,3,1,3),(5,3,2,2),(5,3,4,1)$ sağlar. $p=7$ için çözüm yoktur. $p>7$ kabul edelim. $r \ge 2$ olsun. $r(p-3)^n \ge 2(p-3) \ge p+3$ olduğundan $r \ge 2$ için çözüm yok. $r=1$ için $p>7$ ve $p+3=(p-3)^n$ eşitliği sağlanıyor. $n=1$ için çözüm yok. $n \ge 2$ için $p+3 \ge (p-3)^2$ olmalı. $0 \ge p^2-7p+6=(p-1)(p-6) >0$ olması gerekir. Çelişki!

O halde çözümler $(5,3,1,3),(5,3,2,2),(5,3,4,1)$.
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı KereMath

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 67
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 1
« Yanıtla #2 : Temmuz 17, 2016, 06:20:06 ös »
Ancak p=3 durumundan 3+q=r.(3-q)n olur q=2 ise r=5 sağlar. (3,2,5,n)
q 2 den büyük ise n çift bir sayı olmalıdır eğer tek olsaydı
(p-q)n negatif olurdu.
Buradan (q-3)2 3+q dan büyük olma durumunda (q-6)(q-1) 0 dan büyük olmalıdır. q 6 dan.büyük ise Çelişki! 
q=5 ise (3,5,2,2) sağlar
q=3 durumundan ise (p+3)=(p-3)n.r (p-6)(p-1) 0 dan büyük olduğundan sağlanmaz(p 6 dan büyük ise).
p 6 dan küçük ise p=5 (5,3,1,3),(5,3,2,2),(5,3,4,1)
p=2 den ise 5=(-1)n.r. buradan (2,3,5,2k) sağlar
Kerem Recep Gür

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal