$p,q$ dan hiçbiri $3$ ile bölünmesin. O halde $3 \nmid p+q$ olduğundan $p \equiv q \pmod3$ olması gerekir. Ancak o zaman da $3 \mid p+q$ olması gerekir. Çelişki! O halde en az biri $3$ olmalıdır.
$p>q$ olduğu aşikardır. $q=3$ olmalı. $p+3=r(p-3)^n$ eşitliği sağlanmalı. $p=5$ için $(5,3,1,3),(5,3,2,2),(5,3,4,1)$ sağlar. $p=7$ için çözüm yoktur. $p>7$ kabul edelim. $r \ge 2$ olsun. $r(p-3)^n \ge 2(p-3) \ge p+3$ olduğundan $r \ge 2$ için çözüm yok. $r=1$ için $p>7$ ve $p+3=(p-3)^n$ eşitliği sağlanıyor. $n=1$ için çözüm yok. $n \ge 2$ için $p+3 \ge (p-3)^2$ olmalı. $0 \ge p^2-7p+6=(p-1)(p-6) >0$ olması gerekir. Çelişki!
O halde çözümler $(5,3,1,3),(5,3,2,2),(5,3,4,1)$.