Gönderen Konu: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 4  (Okunma sayısı 2675 defa)

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 4
« : Şubat 18, 2016, 06:23:25 ös »
$a,b,c$ pozitif gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2+2abc \le 1$ koşulunu sağlıyorsa,
$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+2(a+b+c)$$
olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)
« Son Düzenleme: Mayıs 01, 2016, 11:30:47 ös Gönderen: Eray »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

Çevrimdışı MATSEVER 27

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 738
  • Karma: +10/-6
Ynt: Tübitak Genç Takım Seçme 2015 Soru 4
« Yanıtla #1 : Şubat 18, 2016, 06:26:11 ös »
$\text{Matematik Fatihi:}$

İsteneni ispatlamak için benzerlikten dolayı $\dfrac{1}{a}-2b \ge \dfrac{c}{a}$ göstermemiz yeterli olacaktır. Bunun için koşulumuzda $a^2+b^2\ge 2ab$ olduğunu kullanarak $2ab+c^2+2abc-1 \le 0 \Rightarrow (c+1)(c+2ab-1) \le 0$ elde ederiz. $c+1 >0$ olduğundan $1 \ge c+2ab$ elde edilir. Her tarafı $a$ ile bölüp düzenlersek $\dfrac{1}{a}-2b \ge \dfrac{c}{a}$  olur ve ispat biter.
« Son Düzenleme: Nisan 29, 2016, 01:16:34 öö Gönderen: geo »
Vatan uğrunda ölen varsa vatandır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal