Diyafont Denklemler

[AtakanCİCEK]

$1)$ $x^3-4xy+y^3=-1$ eşitliğini sağlayan tüm tamsayı değerlerini bulunuz.
$2)$ $5^x.7^y+4=3^z$ denkliğini sağlayan tüm negatif olmayan $(x,y,z)$ tamsayı üçlülerinin sayısını bulunuz.
$3)$ $a^{b^2}=b^a$ eşitliğini gerçelleyen tüm $(a,b)$ tamsayı ikililerini bulunuz.

[AtakanCİCEK]

$3)$

Bu soruyu $a>b$ olup olmamasına göre iki parçada inceleyelim.


$1)$ $1\le a\le b$ için çözüme bakalım.



$a\le b$ olduğunu kullanarak eşitsizlik kurmayı hedefleyelim.
 
$(a^b)^b=b^a$ şeklinde yazabiliriz. $a\le b$ den dolayı $a^b\le b $ olmazsa çözümün olamayacağı açıktır. 
$a^b-b$ ifadesinin türevini alalım. $\dfrac {d}{db} (a^b-b)=1.a^b.lna-1$  $b>a>e$  için $lna>1$ ve $a^b>1$ olacağı için  türev $0$'dan büyüktür Mesela $b=3$ alacak olursak  $a^3-3>0$ olduğunu gösterirsek $a^b-b$ nin daima pozitif olduğunu göstermiş oluruz.
$a>e>2$ $a^3>8$  yani $a^3-3>0$ elde edilir. Yani $a=1$ ya da $a=2$ olmalıdır.

$a=1$ olsun. O halde $b=1$ olması gerektiği açıktır.

$a=2$ olsun. $2^{b^2}=b^2$ $b^2=t$ dönüşümü yapalım.  $2^t=t$,  $2^t-t=0$ Şimdi bu ifade için türeve bir kez daha bakalım.
$2^t.ln2-1$ olur. Bu ifadeyi ise $ln2^{2^t}-1$ şeklinde yazdıktan sonra $t>1$ için türevin $0$ dan büyük olacağı açıktır. Aynı zamanda $2^2-2>0$ da sağlandığından dolayı daima $t>1$ için daima pozitiftir.  $t=1$ in de sağlamadığı açıktır.



$2)$ şimdi de $b>a\ge 1$ olsun.



$a^{b^2}=b^a=(a^b)^b$ den dolayı $a>b^2$ gelir yani $\dfrac{a}{b^2}>1$ elde edilir. Acaba $a=k.b^2$ eşitliğindeki $k$ sayısı daima bir pozitif tam sayı  olabilir mi diye düşünelim.

$(ab^{-2})^{b^2}=b^{a-2b^2}$ şeklinde yazarsak $ab^{-2}>1$ olduğu için $a-2b^2>0$ olacağı açıktır. $a>2b^2$ olur.

$\dfrac{a}{b^2}=\dfrac{k}{n}$ ,$k,n\in Z^+$ ve $(k,n)=1$  olsun.  Buradan $n.a.b^{-2}=k$  elde edilir.

Aşağıdaki adımları takip edelim.

$$k^{b^2}=n^{b^2}.a^{b^2}.(b^{-2})^{b^2}=n^{b^2}.b^{a-2b^2}$$  bu ifadeden dolayı $n\mid k$ olması gereklidir. $(k,n)=1$ olduğundan dolayı $n=1$ alınmalıdır. Artık  $a=k.b^2$  $a>2b^2$ yani $k\ge3,k\in Z^+$ olduğunu biliyoruz.

Bunu başlangıçtaki denklemde yerine koyacak olursak $k^{b^2}=(b^{k-2})^{b^2}$ olmalıdır. buradan $k=b^{k-2}$ buluruz.


 $k\ge 5$ için  $b^{k-2}-k\ge 2^{k-2}-k$ olur.  $\dfrac{d}{dk}( 2^{k-2}-k)=(k-2).2^{k-2}.ln2-1$ yani $2^{k-2}.ln2^{k-2}-1>0$ $k=5$ için ise $2^3-5=3>0$ olduğundan $k<5$ olmalıdır.


$k=3$ ise $3b^2=b^3$ yani $b=3$ elde edilir. $a=kb^2=27$ olur. $(27,3)$ çözümü gelir.

$k=4$ ise $4b^2=b^4$ yani $b=2$ elde edilir. $a=16$ olur.  $(16,2)$ çözümü gelir.


O halde denklemin çözüm kümesi $\{(1,1),(27,3),(16,2) \}$ olmalıdır.   

[AtakanCİCEK]

$1)$

Denklemde genelliği bozmadan $x\ge y$ alalım. Ve $x+y=k$ , $k\in Z$ dönüşümü yapalım.

$x^3-4x.(k-x)+(k-x)^3=-1$

$x^3-4xk+4x^2+k^3-3k^2x+3kx^2-x^3=-1$

$(3k+4).x^2+(-3k^2-4).x+k^3+1=0$

$\bigtriangleup=(-3k^2-4)^2-4.(3k+4).(k^3+1)$

$9k^4+24k^2+16-12k^4-12k-16k^3-16$

$\bigtriangleup=-3k^4-16k^3+24k^2-12k$ olur.

$k\ge3$ için $k^2>8$ yani $3k^4>24k^2$ olduğundan dolayı $\bigtriangleup<0$ olur.

$k<3$ olmalıdır.

$k\le -7$ için ise $\bigtriangleup \le-65<0$ olur.

$k\in \{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$ olmalıdır.

$k=2$ için $\bigtriangleup =-48-128+96-24<0$ olduğundan çözüm yoktur.

$k=1$ için $\bigtriangleup =-7<0$

$k=0$ için $\bigtriangleup =0$ olur denenmelidir.

$k=-1$ için $\bigtriangleup=49$ olur tam kare olduğundan sağlayabilir.

$k=-2$ için $\bigtriangleup=200$ olur tam kare olmadığından çözüm yoktur.

$k=-3$ için $\bigtriangleup =441$ olur tam kare olduğundan sağlayabilir.

$k=-4$ için $\bigtriangleup =688$ olur tam kare olmadığından çözüm yoktur.

$k=-5$ için $\bigtriangleup =785$ olur tam kare olmadığından çözüm yoktur.

$k=-6$ için $\bigtriangleup =504$ olur tam kare olmadığından çözüm yoktur.

O halde $k\in \{0,-1,-3\}$ şeklinde kümemizi elde ederiz.

$1)$ $k=0$ ise $4x^2-4x+1=0$ $x\not\in Z$ olduğundan çözümü yoktur.

$2)$ $k=-1$ ise $x^2-7x=0$ $x\in \{0,7\}$ olabilir.

$3)$ $k=-3$ ise $-5x^2-31x-26=0$ $5x^2+31x+26=0$ olmaldıır. $x=-1$ olabilir.

Olası çözümler $x>y$ için $(0,-1),(7,-8),(-1,-2)$ olur. Verilen denklemlde denersek  sadece $(0,-1)$ ilk denklemi sağlar

Denklemin çözüm kümesi $\{ (0,-1),(-1,0)\}$ olarak bulunur.