Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 18

[ERhan ERdoğan]

$n=1,2,3,\cdots$ doğal sayıları için, $a_{n}=2-\dfrac{1}{n^2-\sqrt{n^4+\dfrac{1}{4}}}$ olarak verilsin. Buna göre, $\dfrac{1}{\sqrt{a_{1}}}+\dfrac{2}{\sqrt{a_{2}}}+\dfrac{3}{\sqrt{a_{3}}}+\cdots +\dfrac{19}{\sqrt{a_{19}}}+\dfrac{20}{\sqrt{a_{20}}}$ ifadesinin eşiti nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt{761}+1}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{761}-1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ 20
\qquad\textbf{d)}\ 19
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed E$

Verilen ifadenin paydasını eşleniğiyle çarpıp düzenlersek $a_n=4n^2+2+2\sqrt{4n^4+1}=(\sqrt{2n^2+2n+1}+\sqrt{2n^2-2n+1})^2$ bulunur.
$$\dfrac{n}{\sqrt{a_n}}=\dfrac{n}{\sqrt{2n^2+2n+1}+\sqrt{2n^2-2n+1}}=\dfrac{\sqrt{2n^2+2n+1}-\sqrt{2n^2-2n+1}}{4} $$ olur.Verilen toplam,$$\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}+\dfrac{\sqrt{8}-\sqrt{5}}{4}+\dots +\dfrac{\sqrt{841}-\sqrt{761}}{4}=\dfrac{\sqrt{841}-1}{4}=7$$ bulunur.