Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 32

[ERhan ERdoğan]

Başlangıçta masada $k$ tane taş bulunuyor. Alper, Betül ve Ceyhun sırayla hamle yapıyorlar ve sırası gelen oyuncu masadan bir veya iki taş alıyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor ve oyun sona eriyor. Oyuna her seferinde Alper başlamak üzere, oyun $k=5,6,7,8,9$ değerleri için birer kez oynanırsa, Alper bunlardan kaçını kaybetmemeyi garantileyebilir? 

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

Cevap: $\boxed B$

İki kişi toplam $2$, $3$ veya $4$ taş çekebilir.
Alper'e $4$ taş gelirse, Alper taş çektikten sonra kalan $2 = 1+1$ ya da $3 = 1+2$ taşı diğerleri bitirip Alper'i hamlesiz bırakabilir.
Alper'e $5$ taş gelirse, Alper taş çektikten sonra kalan $4 = 2+2$ ya da $3 = 1+2$ taşı diğerleri bitirip Alper'i hamlesiz bırakabilir.
Alper'e $8$ taş geldiğinde, Alper ne çekerse çeksin, Betül ile Ceyhun $1$ er taş çektiğinde Alper'e tekrardan $8-x-1-1=6-x \in \{4,5\}$ geleceği için, Alper hamlesiz kalabilir.
Alper'e $9$ taş geldiğinde, Alper ne çekerse çeksin, Betül ile Ceyhun toplamda $3$ taş çektiğinde Alper'e tekrardan $9-x-1-2=6-x \in \{4,5\}$ geleceği için, Alper hamlesiz kalabilir.

Alper, kendisinden sonra gelen oyuncuya $5$ taş bırakırsa, şöyle bir durum oluşacak: $5-1-1=3$, $5-1-2=2$ ya da $5-2-2=1$
Alper, mümkün olduğunca çok taş çektiğinde, kendisinden sonra gelene $1$ ya da $0$ taş bırakmış olacak. Bu durumda, sıra kendisine gelmeden oyunu Betül ile Ceyhun'dan biri kaybetmiş olacak.
Hem $6-1=5$ hem de $7-2=5$ durumlarıyla, Alper oyunu kaybetmemeyi garantileyebilir.