Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 08

[Metin Can Aydemir]

Bir çember etrafına yazılmış olan sıfırdan farklı $200$ sayı, komşu sayılar farklı renkte olacak şekilde kırmızı ve beyaz renge boyanmıştır. Her kırmızı sayı iki komşusunun çarpımına, her beyaz sayı ise iki komşusunun toplamına eşittir. Buna göre bu $200$ sayının toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 60
\qquad\textbf{b)}\ 65
\qquad\textbf{c)}\ 70
\qquad\textbf{d)}\ 75
\qquad\textbf{e)}\ 80
$

[Squidward]

Cevap: $\boxed{D}$

Her kırmızı boyalı sayı $\dfrac{1}{4}$ ve her beyaz boyalı sayı $\dfrac{1}{2}$ olursa koşullar sağlanır, kırmızı ve beyaz boyalı $100$ tane sayı vardır, toplam da $100 \cdot ({\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}}) = 100 \cdot (\dfrac{1\cdot2}{2\cdot 2} + \dfrac{1}{4})= 100 \cdot (\dfrac{2+1}{4}) = 100 \cdot \dfrac{3}{4} = 25 \cdot 4 \cdot \dfrac{3}{4} = 25 \cdot 3 = 75 $ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Cevap: $\boxed{D}$
Yukarıdaki ispat sınav sırasında öğrenciler tarafından test taktiğiyle her kırmızı ve beyaz boyalı sayıların kendi içinde eş olmasıyla $2x^2=x$ ve $x$ sıfır olmadığından $\dfrac{1}{2}$ olarak bulunabilir. Lakin daha akla yatar bir çözüm verelim.
$a_1=x, a_2=xy, a_3=y$ olsun. Buna göre
$$a_4=y\left(1-x\right)$$
$$a_5=1-x$$
$$a_6=\left(1-x\right)\left(1-y\right)$$
$$a_7=1-y$$
$$a_8=x\left(1-y\right)$$
olarak elde edilir ve bundan sonra $a_9=x$ olduğundan dizi periyodik bir hal alır. Yani $8$'lik bir tekrar bulduk. 0 zaman
$$Toplam=25\left(\sum_{i=1}^{8}{a_i}\right)=25\left(x+xy+y+y-xy+1-x+1-x-y+xy+1-y+x-xy\right)=25.3=75$$
olarak bulunur.