Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 17

[Lokman Gökçe]

$T_n=1^3+2^3+\cdots +n^3 $  ve  $P_n=\dfrac{4T_2}{2(T_2-T_1)}\cdot \dfrac{4T_3}{3(T_3-T_2)}\cdots \dfrac{4T_n}{n(T_n-T_{n-1})}$  olmak üzere, $P_{25}$  aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$
\textbf{a)}\ 317
\qquad\textbf{b)}\ 169
\qquad\textbf{c)}\ 1993
\qquad\textbf{d)}\ 3991
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Öncelikle $T_n=1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ eşitliğini yazarsak, $$\dfrac{4T_n}{n(T_n-T_{n-1})}=\dfrac{n^2(n+1)^2}{n^4}=\dfrac{(n+1)^2}{n^2}$$ $$\Rightarrow P_n=\prod_{k=2}^{n} (\dfrac{k+1}{k})^2=(\dfrac{n+1}{2})^2$$ Dolayısıyla $P_{25}=13^2=169$'dur.