Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 09

[geo]

En büyük kenar uzunluğu $13$ ve çevre uzunluğu $28$ olan bir ikizkenar yamuğun alanı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 13
\qquad\textbf{b)}\ 24
\qquad\textbf{c)}\ 27
\qquad\textbf{d)}\ 28
\qquad\textbf{e)}\ 30
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

İkizkenar yamukta Pisagor'dan yüksekliği bulup alana gidebiliriz; ama direkt alana giden bir yöntem uygulacağız: Kirişler dörtgeninde alan formülü.
İkizkenar yamuk bir kirişler dörtgeni olduğu için $\text{Alan} = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$ formülünü kullanabiliriz.
Uzun taban $13$ ise, diğer kenarlar; $x,x,15-2x$ olacaktır. Yarıçevre $14$ ten alanı yazarsak; $$\text{Alan} = \sqrt{(14-1)(14-x)(14-x)(14-(15-2x))} = \sqrt{(14-x)(14-x)(2x-1)}$$ elde edilir. Toplamları $(14-x)+(14-x)+(2x-1) = 27$ olan bir ifade $AO \geq GO$ dan en büyük çarpım değerini hepsi eşitken yani $14-x=9 \Rightarrow x=5$ iken alır. Bu durumda $\text{Alan}_{\max} = 27$ dir.

İkizkenarlar $13$ iken, yamuğun yüksekliği en fazla $13$; tabanlar toplamı da $2$ olacağı için alan en fazla $\dfrac{2\cdot 13}{2} = 13$ olacağı için, söz konusu ikizkenar yamuk alanca en büyük değerini kenarları $5,5,5,13$ olunca alır.