$\left( a-\sqrt {5}b\right) ^{2}\geq 0$
$a^{2}-5b^{2}\geq 2\sqrt {5}ab$
$a^{2}+3ab+5b^{2}\geq 3ab+2\sqrt {5}ab$
$80\geq 3ab+2\sqrt {5}ab$
$ab\leq \dfrac {80} {3+2\sqrt {5}}$
O halde $a.b$'nin maksimum değeri $10$ olur.
Not: (Çözüm Barış Demir ve Muharrem Şahin Hocam'a aittir.)