Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2019 => Konuyu başlatan: Eray - Temmuz 20, 2019, 01:56:54 öö

Başlık: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2019 Soru 5
Gönderen: Eray - Temmuz 20, 2019, 01:56:54 öö

Bath Bankası bir yüzünde $H$, diğer yüzünde $T$ yazan madeni paralar basmıştır. Bu paralardan $n$ tanesi soldan sağa dizilmiş olarak Giray'ın önünde duruyor. Giray şu işlemi tekrar tekrar uyguluyor: önündeki paralardan tam olarak $k > 0$ tanesinin $H$ yüzü üstteyse, soldan $k$-inci sıradaki parayı ters çeviriyor; aksi halde, yani tüm paraların $T$ yüzü üstteyse, duruyor. Örneğin, $n = 3$ durumunda $THT$ dizilişiyle başlayan süreç $THT \rightarrow HHT \rightarrow HTT \rightarrow TTT$ olarak devam edip üç işlem sonunda durur.

• Başlangıçtaki diziliş nasıl olursa olsun, Giray'ın sonlu sayıda işlem sonunda duracağını gösteriniz.
• Her $C$ başlangıç dizilişi için, $L(C)$ ile Giray'ın durana kadar yaptığı işlem sayısı gösterilsin. Örneğin, $L(THT) = 3$ ve $L(TTT) = 0$ dır. Her bir $C$ başlangıç dizilişi için $L(C)$ değerinin ayrı ayrı belirlenmesiyle elde edilen $2^n$ adet sayının ortalamasını bulunuz.