Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2017 Soru 02

[Lokman Gökçe]

$105^9$ doğal sayısının pozitif bölenlerinin kaç tanesi $9$, $25$, $49$ sayılarından en az ikisine tam bölünür?

$\textbf{a)}\ 512 \qquad\textbf{b)}\ 726 \qquad\textbf{c)}\ 846 \qquad\textbf{d)}\ 896 \qquad\textbf{e)}\ 1308 $

[Metin Can Aydemir]

Yanıt: $\boxed{D}$

$A=105^9=3^9\cdot 5^9\cdot 7^9$'dur. $9$'a ve $25$'e bölünen sayısı, $\dfrac{A}{9\cdot 25}=3^7\cdot 5^7\cdot 7^9$ sayısının pozitif bölen sayısıdır. Yani $(7+1)\cdot(7+1)\cdot(9+1)=640$'dır. Benzer şekilde $9$ ve $49$ ile $25$ ve $49$'a aynı işlemi yapınca da $640$ olur. Fakat üçünün de bölündüğü durumu $2$ defa fazladan topladığımız için çıkartmalıyız. Bu sayı $\dfrac{A}{9\cdot 25\cdot 49}=3^7\cdot 5^7\cdot 7^7$'nin pozitif bölen sayısıdır. Yani $(7+1)^3=512$'dir. Toplam sonuç $$640+640+640-512\cdot 2=896$$ olur.