Tübitak Lise 2. Aşama 2012 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$ABC$, $|AB|=|AC|$ koşulunu sağlayan bir ikizkenar üçgen ve $D$, $A$ ya ait yüksekliğin ayağı olmak üzere, $ADC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $P$ noktası $m(\widehat{APB}) > 90^\circ$ ve $m(\widehat{PBD}) + m(\widehat{PAD}) = m(\widehat{PCB})$ koşullarını sağlıyor.
$CP\cap AD=\{Q\}$ ve $BP\cap AD=\{R\}$ olsun. $[AB]$ üstünde yer alan bir $T$ noktası ile $[AP$ üstünde ve $[AP]$ dışında yer alan bir $S$ noktası, $m(\widehat{TRB}) = m(\widehat{DQC})$ ve $m(\widehat{PSR}) = 2m(\widehat{PAR})$ koşullarını sağlıyorsa, $|TR|=|RS|$ olduğunu gösteriniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[sugga]

$\angle PAR=\alpha , \angle PBC =\beta$ ve $\angle BAD =\theta$ diyelim. O halde $\angle QBR=\alpha $ olur. Şimdi $ABC$ üçgeninde $P$ noktasına göre Trigonometrik Seva Teoremi’ni uygulayalım: $$\dfrac{\sin (\theta +\alpha )}{\sin (\theta -\alpha )}\cdot \dfrac{\cos (\alpha +\beta +\theta )}{\sin (\alpha +\beta )}\cdot \dfrac{\sin \beta }{\cos (\beta +\theta )}=1 \tag {1}$$
$2\cos x \cdot \sin y=\sin (x+y)-\sin (x-y)$ özdeşliği kullanılarak;

$2\cos(\alpha+\beta+\theta)\sin\beta =\sin (\alpha+2\beta+\theta)-\sin (\alpha+\theta)$,

$2\sin(\alpha+\beta )\cos (\beta +\theta ) =\sin (\alpha+2\beta+\theta)-\sin (\theta -\alpha)$
eşitlikleri elde edelir. Şimdi bu eşitlikleri $(1)$’de yerine yazarsak ilk eşitliğimiz $$\dfrac{\sin (\theta+\alpha)}{\sin (\theta-\alpha)}\cdot\dfrac{\sin (\alpha+2\beta+\theta)-\sin (\alpha+\theta)}{\sin (\alpha+2\beta+\theta)-\sin (\theta -\alpha)}= 1$$ haline gelir.
Bunu da düzenleyerek şunu elde ederiz:

$$(\sin (\theta+\alpha)-\sin(\theta-\alpha))\sin(\alpha+2\beta+\theta) =\sin^2(\theta+\alpha)-\sin^2(\theta-\alpha)$$ $$\sin (\alpha +2\beta +\theta )=\sin (\theta +\alpha )+\sin (\theta -\alpha )=2\sin \theta \cos \alpha \tag {2}$$
Bir de $ATS$ üçgeninde $R$ noktasına göre Trigonometrik Seva Teoremi uygulayalım: $$\dfrac{\sin (\alpha +2\beta +\theta )}{\sin \theta }\cdot \dfrac{\sin \alpha }{\sin (2\alpha )}\cdot \dfrac{\sin \angle RST}{\sin \angle RTS}=1 \tag {3}$$
$\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cdot \cos \alpha $ ve $(2)$’den dolayı $\sin (\alpha +2\beta +\theta )=2\sin \theta \cos \alpha $ olduğunu $(3)$’te yerine yazarsak $\sin\angle RST =\sin\angle RTS$ eşitliğini elde etmiş oluruz. Bu da  $|TR|=|RS|$ olduğunun ispatıdır.