Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2010 Soru 23

[ArtOfMathSolving]

$m$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için $3x^2+4y^2+5z^2=m$ eşitliğini sağlayan $(x,y,z)$ pozitif tam sayı üçlüsü yoktur?

$
\textbf{a)}\ 2007
\qquad\textbf{b)}\ 2008
\qquad\textbf{c)}\ 2009
\qquad\textbf{d)}\ 2010
\qquad\textbf{e)}\ 2011
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Verilen denklemi $\mod 4$ de incelersek $z^2 - x^2 \equiv m \pmod{4}$ olur. Her $x,z$ tamsayısı için $z^2 - x^2 \equiv 0,1,3 \pmod{4}$ olduğunu iyi biliyoruz. Dolayısıyla $m \equiv 2 \pmod{4}$ değerleri için denklemin tamsayı çözümü olamaz. $m=2010$ için çözüm yoktur.