AÜMO-2001

[Lokman Gökçe]

(Akdeniz Ünv. Mat. Olimpiyatı-2001): x,y gerçel sayıları x³ - 3xy² = 10 ve y³ - 3yx² = 5 eşitliklerini sağlıyorsa x² + y² ifadesi aşağıdakilerdan hangisine eşittir?

13      8      10      5      18

[Mathopia]

her iki ifadenin karelerı alınıp taraf tarafa toplanırsa (x²+y²)³=125 çıkar ki cvp 5 tir.

[Lokman Gökçe]

Zihninize sağlık hocam, ben de şöyle düşündüm: i² = -1 olmak üzere ikinci denklemi -i ile çarparsak 3ix²y + (iy)³ = -5i olur.Bu yeni denklem, ilk denklem ile toplanırsa (x + iy)³ = 10 - 5i olur. Her iki tarafın modülü (uzunluğu) alınırsa
|x + iy|³ = (125)^1/2 ve buradan da x² + y² = 5 çıkar.

[Lokman Gökçe]

Soru (L.GÖKÇE): x,y reel sayılar olmak üzere

x² - y² = 8  ve  2xy = 15  ise

a) x² + y² = ?     b) denklemi sağlayan tüm (x,y) çözümlerini bulunuz.

[Mathopia]

a seçeneği yukardaki çözümler dıkkate alınarak çözüldüğünde 17 çıkmaktadır.

b seçeneğınde ıse çözümlerden biri x²-y²=8  ile x²+y²=17 taraf tarafa toplandığında (5.2^1/2/2,3.2^1/2/2) çıkmaktadır.

unutmuşum  diğer çözümde  (-5.2^1/2/2,-3.2^1/2/2) olacaktır.

[Lokman Gökçe]

2.yol:

[Lokman Gökçe]

Bir soru daha sorarak, meseleyi sonuca bağlayalım:

x³ - 3xy² = 8 , 3x²y - y³ = 0 denklem sistemini sağlayan tüm (x,y) reel ikililerini bulunuz.

[senior]

y=0, x=2 bi çözüm. y, 0 değilse;
3x²=y², diğer denklemde yerine koyarız:
-8x³=8 ==> x=-1 ve y=3

[Lokman Gökçe]

güneş kardeş, üç tane (x,y) ikilisi olacak.. bi de, x = -1, y = 3 denklemi sağlamaz. yorulmadan çözersin sen bu soruyu .kolay gelsin...

[Lokman Gökçe]

Bir soru daha sorarak, meseleyi sonuca bağlayalım:

x³ - 3xy² = 8 , 3x²y - y³ = 0 denklem sistemini sağlayan tüm (x,y) reel ikililerini bulunuz.

Güneş kardeşim bu soruyu sana havale etmişiz ama çözememişsin galiba .

İkinci denklemi sanal birim olan $i$ ile çarpıp ilk denklemle taraf tarafa toplarsak $(x+iy)^3=8$ olur. $z=x+iy$ dersek $z^3=8(\cos0^\circ + i\sin 0^\circ)$ elde edilir. Buradan $z_1=2$, $z_2=2(\cos120^\circ + i\sin 120^\circ)= -1 + i\sqrt3 $, $z_3=2(\cos240^\circ + i\sin 240^\circ)= -1 - i\sqrt3 $ çözümleri elde edilir. Yani $(x,y)$ ikilileri $(2,0)$, $(-1,\sqrt3)$, $(-1,-\sqrt3)$ şeklinde üç tanedir.