Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 16

[Lokman Gökçe]

$\{ 1,2, \dots , 33 \}$ kümesinin $k$ elemanlı her altkümesinde biri diğerinin iki katı olan iki eleman bulunuyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 22
\qquad\textbf{c)}\ 23
\qquad\textbf{d)}\ 24
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{C}$

$A= \left \{1,2,\cdots,33 \right \}$ kümesindeki elemanların, ortanca değerinden kümeyi parçalayalım.

$A_{1}= \left \{33,32,\cdots,18,17 \right \}$ ve $A_{2}= \left \{16,15, \cdots ,2,1 \right \}$ olur. $A_{1}$ kümesindeki elemanların yarısına eşit elemanlar $A_{2}$ kümesindedir.

Aynı yöntemle $A_{2}$ kümesinin parçalanışı,

$A_{2} \rightarrow A_{3}= \left \{16,15, \cdots ,10,9 \right \}$ ve $A_{4}= \left \{8,7, \cdots ,2,1 \right \}$ kümeleri şeklindedir.

Benzer şekilde oluşacak diğer kümelerin parçalanışı aşağıdaki gibi olacaktır.

$A_{4} \rightarrow A_{5}= \left \{8,7,6,5 \right \} ,A_{6}= \left \{4,3,2,1 \right \}$

$A_{6} \rightarrow, A_{7}= \left \{4,3 \right \}, A_{8}= \left \{2,1 \right \}$

$A_{8} \rightarrow A_{9}= \left \{2 \right \} , A_{10}= \left \{1 \right \}$   

$A_{1}\cup A_{5}\cup A_{9} = \left \{2,5,6,7,8,17,18,\cdots,32,33 \right \}$ kümesindeki elemanların hiçbiri diğerinin iki katı değildir.$s(A_{1}\cup A_{5}\cup A_{9})=22$ olduğundan istenen şarta uygun küme en az $23$ elemanlı olmalıdır.