Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 23

[AtakanCİCEK]

$x$ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere, $2x+16y=x^2+y^2$ eşitliği sağlanıyorsa, $7x+4y$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -32 \qquad\textbf{b)}\ -30  \qquad\textbf{c)}\ -28 \qquad\textbf{d)}\ -26 \qquad\textbf{e)}\ -24$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{D}$

$2x+16y=x^2+y^2$ ifadesini $(x-1)^2+(y-8)^2=65$ haline getirirebiliriz.
$x-1=a$
$ y-8=b$  dönüşümleri yapılırsa bizden minimumu istenen ifade için $7a+4b$ nin minimumuna bakmak yeterlidir.
$a^2+b^2=65$ eşitliğinden $b=\sqrt{65-a^2}$ denilebilir. Bunu  bizden istenen ifadede yerine koyarsak
$(7a+4\sqrt{65-a^2})'=0$ denklemini çözüp ekstremum değerleri bulalım.
$7-\frac {8a} {2\sqrt{65-a^2}}=0$ elde ederiz.Bu denklemi düzenleyip her iki tarafın karesi alınırsa
$49.65=65a^2$ elde edilir ve $a=7$ veya $a=-7$ elde edilir. $a=7$ için $x=8$, $a=-7$ için $x=-6$ bulunur.
Minimum istendiğinden  $x=-6$ alıp denklemde yerine koyarsak
$y^2-16y+48=0$ denklemi elde edilir  $y=12$ veya $y=4$ bulunur. Minimum istendiğinden  $y=4$ alalım.
sonuç olarak $x=-6$ ve $y=4$ için $7x+4y=-26$ oldugundan  $7x+4y \geq -26$ bulunur.

[Squidward]

Önceki çözümdeki $x-1 = a$ ve $y - 8 = b$ dönüşümlerinden sonra $7, 4$ ve $a, b$ üzerinde C - S eşitsizliği uygulanırsa:

$ |7a+4b| \leq \sqrt{7^2 + 4^2} \times \sqrt{a^2+b^2}$, $a^2 + b^2 = 65$ olduğu kullanılıp düzenlenirse $-65 \leq 7a + 4b \leq 65$ bulunur. Minimum değer $-65$dir. Baştaki dönüşümlerden sonra istenilen $7a + 4b +39$ olduğundan, $-65 + 39 = -26$dır.

[Lokman Gökçe]

Lise düzeyi analitik geometri bilgilerimizi kullanabileceğimiz bir çözüm sunabilirim.

$2x+16y=x^2+y^2$ denklemi analitik düzlemde $(x-1)^2 + (y-8)^2=65$ çemberini belirtir. Bu çemberin merkezi $M(1,8)$ noktası olup yarıçap $r=\sqrt{65}$ tir. $7x+4y=n$ dersek, bun denklem de analitik düzlemde bir doğru gösterir. $n$ parametresinin alacağı değerlere göre, bu doğru çemberle kesişecek, çembere teğet olacak veya çemberle kesişmeyecektir. Doğrunun çembere teğet olması durumunda $n$ nin en büyük-en küçük değerlerini alabileceğini görebiliriz. (Bunu daha kolay görmek için çemberi ve $-7/4$ eğimine sahip bazı doğruları çizmek faydalı olacaktır.) $M(1,8)$ noktasından $7x+4y-n=0$ doğrusuna inen dikme ayağı $H$ olsun. Teğet olma şartından dolayı $|MH|=r$ olmalıdır. Böylece, noktanın doğruya uzaklığı formülünden

$$ \dfrac{|7\cdot 1  + 4\cdot 8 - n|}{\sqrt{7^2 + 4^2}} = \sqrt{65}$$

olup $n=-28$ ve $n=104$ değerleri elde edilir. $n_{\min} = -28$ dir.



Not: Bu soruda $n$ nin ekstremum değerlerinin tam sayı çıkmasında $7^2 + 4^2 = 8^2 + 1^2$ eşitliğinin fayda sağladığını görebiliriz. Modifiye sorular yazmak isterseniz $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ eşitliğini sağlayan ($(a,b)\neq (c,d)$ olması tercih edilir) $a,b,c,d$ pozitif tam sayıları bulmanız gerekecektir.

$\bullet$ $7^2 + 1^2 = 5^2 + 5^2$

$\bullet$ $12^2 + 1^2 = 8^2 + 9^2$

$\bullet$ $32^2 + 9^2 = 31^2 + 12^2$

...vb örnekler türetebiliriz.