Çözüm (Lokman Gökçe): $ABCDEFG = 4358717$ dir. Çözümü çok daha hızlı biçimde tamamlamak mümkündür. Açıklık amacıyla ara adımları detaylandırmaya çalıştım.
$(DEFGABC)=2(ABCDEFG)+1$
$\implies (DEFG000)+(ABC) =2(ABC0000)+(DEFG)+1$
$\implies 1000\cdot (DEFG) + (ABC) = 20000\cdot (ABC) + 2\cdot (DEFG) + 1$
$\implies 998\cdot (DEFG) = 19999 \cdot (ABC) + 1$
$\implies 19999 \cdot (ABC) + 1 \equiv 0 \pmod{998} $ (Ayrıca $19999 \equiv 39 \pmod{998} $ olduğundan)
$\implies 39 \cdot (ABC) \equiv -1 \pmod{998} $
$\implies 39 \cdot (ABC) =998k -1$ ($k$ bir tamsayı)
$\implies 998k -1 \equiv 0 \pmod{39}$ (Ayrıca $998 \equiv 23 \pmod{998} $ olduğundan)
$\implies 23k -1 \equiv 0 \pmod{39}$
$\implies 23k -1 = 39t $ ($t$ bir tamsayı)
$\implies 39t \equiv - 1\pmod{23} $ (Ayrıca $39 \equiv 16 \pmod{23} $ olduğundan)
$\implies 16t \equiv - 1\pmod{23} $ (Denklik rahat çözülebilecek kadar küçüldü. İstersek sayıları daha da küçültebiliriz)
$\implies 16t \equiv - 1 + 23\cdot 7 \pmod{23} $
$\implies 16t \equiv 160 \pmod{23} $
$\implies t = 10 +23n $ ($n$ bir tamsayı)
Bu değeri $23k -1= 39t$ denkleminde yazarsak $k=17 + 39n$ olur. Bu değeri de $39 \cdot (ABC) = 998k -1$ denkleminde yazarsak $(ABC)=435 + 998n$ elde edilir. $(ABC)$ üç basamaklı sayı olduğundan $n=0$ alırız. $(ABC)=435$ olur. Bunu kullanarak $(DEFG)=8717$ değerine ulaşmak kolaydır.
