Gönderen Konu: Tamkare Toplamı  (Okunma sayısı 471 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 89
  • Karma: 1
Tamkare Toplamı
« : Mart 27, 2018, 02:02:44 ös »
$p$, $4k+1$ formunda bir asal sayı olsun.Her $p$ asal sayısı için $a^2+b^2=p$ olacak şekilde bir $(a,b)$ pozitif tamsayı çifti bulunabileceğini gösteriniz.

NOT: İspatını bulamamış olmama rağmen küçük değerlerde $(a,b)$ çifti sayısının $1$ olduğunu gördüm(simetriğini saymazsak). Bunu da ispatlayan olursa ve paylaşırsa sevinirim.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Dogukan6336

  • G.O Sevecen Üye
  • **
  • İleti: 54
  • Karma: 2
Ynt: Tamkare Toplamı
« Yanıtla #1 : Nisan 05, 2018, 12:57:44 öö »
$ay \equiv x (mod p)$ denkliği  $p$ asal olduğundan her zaman çözülebilir. Tabii $a$ da $p$ ile aralarında asal olacak. Thue lemma der ki, belli bir $a$ sayısı alalım, bu denkliğin çözümlerden en az biri için,

                                                         
                    $0<x,y<\sqrt{p}$

şartı sağlanır.

$p=4k+1$ olan bir asal için $a^2 = -1 (mod p)$ nin çözülebileceğini biliyoruz. O halde

$ay \equiv x (mod p)$
$a^2y^2 \equiv x^2 (mod p)$
$x^2 + y^2 \equiv 0 (mod p)$

$0<x^2 + y^2 < 2p$ olduğundan bunun için tek çare $x^2+y^2 = p$ olmasıdır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal