Çin Ulusal Matematik Olimpiyatı 2016 Soru 3

[ArtOfMathSolving]

$p$ bir asal sayı ve $a_1, a_2,...,a_p$ tamsayıları da $P(x)$ polinomunun katsayıları olmak üzere,

$i)$ $der\{P(x)\}\leq \dfrac{p-1}{2}$ olmak koşuluyla, her $1 \leq i \leq p$ için, $P(i) \equiv a_i \pmod p$ denkliğinin sağlandığını gösterin.

$ii)$ $d \leq \dfrac{p-1}{2}$ koşulunu sağlayan bir $d$ doğal sayısı için, $$ \sum_{i=1}^p (a_{i+d} - a_i )^2 \equiv 0 \pmod p$$ eşitliğinin doğruluğunu gösterin. (indisler $\pmod p$ de alınmıştır.)

[ArtOfMathSolving]

Fikri olan var mı ?