Gönderen Konu: BK- Eşitsizlik-1  (Okunma sayısı 3911 defa)

Çevrimdışı berkkant

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 6
  • Karma: +0/-0
BK- Eşitsizlik-1
« : Temmuz 27, 2014, 10:40:02 öö »
$x, y, z>0 $; $1≥x$; $2≥y$; $x+y+z=6$ ise $(x+1)(y+1)(z+1)≥4xyz$  olduğunu ispatlayınız.
« Son Düzenleme: Temmuz 27, 2014, 05:46:55 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 557
  • Karma: +2/-0
Ynt: BK- Eşitsizlik-1
« Yanıtla #1 : Ağustos 06, 2023, 09:52:42 ös »
Çözüm(Hüseyin Emekçi) :

Öncelikle bu ifadeyi açacağız.

$(x+1)(y+1)(z+1)=(xy+x+y+1)(z+1)$
=$xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1≥4xyz$

=>   $xy+yz+xz+x+y+z+1≥3xyz$  (1)

Şimdi x≤1 ise $yz≥xyz$ dir ve bunu (1) de yerine koyalım:

$xy+yz+xz+x+y+z+1≥xy+xyz+xz+x+y+z+1≥3xyz$

=>  $xy+xz+x+y+z+1=(y+z+1)(x+1)≥2xyz$

Yani $(y+z+1)(x+1)≥2xyz$ olduğunu göstersek yeter.

AGO'dan $(x+1)≥2\sqrt{x}$ tir.

O zaman:

              $(y+z+1)(x+1)≥(y+z+1)2\sqrt{x}≥2xyz$

Biz bu $(y+z+1).2\sqrt{x}≥2xyz$ eşitsizliği göstereceğiz. (y+z+1) i yalnız bırakalım.

$y+z+1≥yz\sqrt{x}$

$y+z+1=7-x$ olduğunu $x+y+z=6$ olduğundan biliyoruz.

O zaman bu
              $7-x≥yz\sqrt{x}$
   eşitsizlik çalışmalı ve biz bunu göstereceğiz.7 yi yalnız bırakalım.

$7≥\sqrt{x}(\sqrt{x} + yz)$ 

Burada amacımız sağ tarafı arttırmak ve bundan dolayı $yz$'yi *kendi içerisinde* olabildiğince büyütmek. (3)

İki pozitif sayının toplamı sabit bir değerse bu iki sayının çarpımının en büyük olabilmesi için farklarının mutlak değeri olabildiğince az olmalıdır. Burada $yz$ yi arttırıcaksak $y$ yi 2 almalıyız ki aralarındaki farkın mutlak değeri az olsun ve $z$ nin $y$ den büyük olması da aldığımız bu stratejide önemli.

Şimdi başa dönelim ve y=2 alalım.

$(y+z+1)(x+1)≥2xyz$


=> $(y+z+1)≥\frac{2xyz}{x+1}$

y=2 yi koyalım ve sağ tarafla biraz oynayalım

=> $(z+3)≥\frac{4xz}{x+1}=\frac{4xz+4z-4z}{x+1}$
=$4z-\frac{4z}{x+1}$   

Burada paydadaki$x+1$ bize x'i yüksek tutmamız gerektiğini söylüyor ki sağ tarafı arttıralım. $X$ sıfıra yaklaştıkçe sağ taraf da 0 a yaklaşacaktır. O  zaman $x=1$ alalım çünkü sağ tarafı maximum  hale getiriceğiz.

x=1 ve y=2 durumunda sağ tarafla sol taraf birbirine en yakın konumu alıyor. O zaman z=3 .

$(z+3)≥\frac{4xz+4z-4z}{x+1}=2z$

z=3 koyalım.

$6≥2.3=6$ ve sağ tarafın maximum hâlinde de eşitsizlik çalışıyor. Yani eşitsizlik ispatlanmış oluyor.

Not: $yz$ yi (3) 'te$\sqrt{x}$ ile karşılaştırmadık, $y+z$ nin sabit bir değerinde $yz$ nin kendi içerisinde en büyük değeri alabilmesi için $y=2$ aldık. Ayrıca aradaki bağlantılar bana zayıf geldi, farklı bir çözüm bulabilirsem paylaşmayı düşünüyorum.
« Son Düzenleme: Ağustos 08, 2023, 12:22:24 öö Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal