Trigonometrik eşitsizlik {çözüldü}

[erray]

$ABC$ üçgeninde   $\dfrac{3}{4} \leq| \cos A \cdot \cos B|+| \cos B \cdot \cos C|+|\cos C \cdot\cos A|<3$  olduğunu gösteriniz.

[Eray]

$|\cos A \cdot \cos B|+|\cos B \cdot \cos C|+|\cos A \cdot \cos C|=S$ diyelim.
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ iken  $S\geq\dfrac{3}{4}$ eşitsizliği yanlıştır. Çünkü $\widehat{A}=90^{\circ}$, $\widehat{B}=45^{\circ}$, $\widehat{C}=45^{\circ}$ alınırsa, $S=\left|0 \cdot \dfrac{1}{\sqrt2}\right|+\left|\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt2}\right|+\left|0 \cdot \dfrac{1}{\sqrt2}\right|=\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}$'tür.

$S<3$ olduğunu gösterelim.
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac$ eşitsizliğini kullanacağız. İspat için eşitsizlik $2$ ile çarpılırsa $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq0$ haline geldiği görülür.

$|a|^2=a^2$ olduğundan, $\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C\geq S$'dir.

$\sin^2x+\cos^2x=1$ özdeşliği kullanılırsa, $1-\sin^2A+1-\sin^2B+1-\sin^2C\geq S$

$\Longrightarrow 3 - (\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C)\geq S$

$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\geq0$ olduğu açıktır. $0$'a eşit olması için ise $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$'den her biri $0^{\circ}$ veya $180^{\circ}$'ye eşit olmalıdır. Bu durumda ise $ABC$ bir üçgen olamaz.

Dolayısıyla $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C>0 \Longrightarrow 3>3 - (\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C)=\cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C>S$ olduğundan $3>S$'dir.

[Lokman Gökçe]

Eşitsizliğin sağ tarafının çok basit bir ispatı var.

$S=|\cos A| \cdot |\cos B|+|\cos B| \cdot |\cos C|+|\cos A| \cdot |\cos C|$ diyelim. Her $x$ gerçel sayısı için $|\cos x|\leq 1$ olduğunu biliyoruz. Ancak $|\cos x| = 1$ eşitlik durumu $x=0^\circ$ veya $x=180^\circ$ iken vardır. Yani herhangi bir $ABC$ üçgeninde $|\cos A|<1$, $|\cos B|<1$, $|\cos C|<1$ olup $S<3$ tür.

Bununla beraber $3$ sayısı bu eşitsizlik için en iyi üst sınırdır. Zira $m(\widehat {A})=m(\widehat {B})=0^\circ$ ve $m(\widehat {C})=180^\circ $ dejenere üçgen durumunda $S=3$ olur. Bunun anlamı; $S$ yi, $3$ ten küçük ancak $3$ e istediğimiz kadar yakın yapabiliriz.

[Lokman Gökçe]

Eşitsizliğin sol tarafı için de bir sınır değer bulabiliriz.

$S=|\cos A| \cdot |\cos B|+|\cos B| \cdot |\cos C|+|\cos A| \cdot |\cos C|$ dersek $S \geq 0$ olduğu açıktır. $S=0$ olması mümkün müdür? Bunu inceleyelim. $S=0$ olması için gerek ve yeter şart $|\cos A|, |\cos B|,|\cos C|$ den ikisinin $0$'a eşit olmasıdır. Örneğin $|\cos A| = |\cos B| = 0$ olursa $m(\widehat {A})=m(\widehat{B})=90^\circ$ olup $m(\widehat{C})=0^\circ$ bulunur. Fakat böyle bir durumda $ABC$ üçgeni dejeneredir. Diğer bir ifadeyle $S$ değerini istediğimiz kadar $0$ a yakın ve pozitif bir sayı olarak belirleyebiliriz. $S>0$ ve $0$ değeri en iyi alt sınırdır.

Üst sınır ile ilgili bulduğumuz sonucu da kullanarak $ 0 < S < 3$ elde ederiz. Bu eşitsizlik tüm $ABC$ üçgenleri için doğru olan optimum aralıktır.