Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 27

[Lokman Gökçe]

$x^3+2y^3=3$ ve $xy^2=1$ koşullarını sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilileri için, $x^3+y^3$ ifadesinin alabileceği değerlerin çarpımı nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{E}$

ikinci denklemden $x=\dfrac{1}{y^2}$ ifadesini, birinci denklemde yazarsak $2y^9-3y^6+1=0 \Rightarrow (y^3-1)^2(2y^3+1)=0$ olur.

Buradan, $y^3=1$ için $x^3=1$ ve $x^3+y^3=2$ 

$y^3=-\dfrac{1}{2}$ için  $x^3=4$ ve $x^3+y^3=\dfrac{7}{2}$

olup iki durumda bulunan değerler çarpımı $7$ dir.