EŞİTSİZLİK 183

[MATSEVER 27]

$abc=1$ koşulunu sağlayan bütün $a,b,c \in \mathbf{R^+}$ için;
$$\frac{1}{4a^2-2a+1}+\frac{1}{4b^2-2b+1}+\frac{1}{4c^2-2c+1} \ge 1$$
gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

Eşitsizliğin yönünden emin misiniz ?

[MATSEVER 27]

Evet.

[Metin Can Aydemir]

Eğer $a,b,c$ den en az biri $\dfrac{1}{2}$ den küçükse eşitsizliğin sağlanacağı barizdir.Hiçbiri küçük olmasın.

$x\geq \dfrac{1}{2}$ için $$\dfrac{1}{4x^2-2x+1}\geq \dfrac{1-2\ln{x}}{3}$$ olduğunu gösterelim.
$f(x)=\dfrac{1}{4x^2-2x+1}- \dfrac{1-2\ln{x}}{3}$ olsun. $f$ nin türevini sıfıra eşitlersek ekstremum noktalarının apsisleri $x=1$ ve $x=\dfrac{1}{2\sqrt[3]{2}}$ bulunur. $x\geq \dfrac{1}{2}$  olduğundan sadece $x=1$ apsisli noktayı ele alacağız. Bu noktanın yerel minimum olduğunu $$f\left(\dfrac{1}{2}\right)\geq f(1)$$ olduğundan rahatlıkla söyleyebiliriz.

$f(1)=0$ olduğundan bu fonksiyonun minimum değeri ${0}$ dır. Dolayısıyla her $x\geq \dfrac{1}{2}$ için $$\dfrac{1}{4x^2-2x+1}\geq \dfrac{1-2\ln{x}}{3}$$ olur. $x$ yerine $a,b,c$ yazıp toplarsak $$\dfrac{1}{4a^2-2a+1}+\frac{1}{4b^2-2b+1}+\frac{1}{4c^2-2c+1} \geq  \dfrac{1-2\ln{a}}{3}+ \dfrac{1-2\ln{b}}{3}+ \dfrac{1-2\ln{c}}{3}=1$$ olur. Eşitlik durumu $a=b=c=1$ dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$4a^2=\frac{4}{b^2c^2}$ , $2a=\frac{2}{bc}$ dönüşümlerini yaparak:
$\sum{\frac{1}{4a^2-2a+1}}=\sum{\frac{b^2c^2}{b^2c^2-2bc+4}}$ olur.
Sonra paydaki kareli ifade sayesinde Faydalı Eşitsizlik uygulayalım:
$\frac{b^2c^2}{b^2c^2-2bc+4}+\frac{a^2b^2}{a^2b^2-2ab+4}+\frac{a^2c^2}{a^2c^2-2ac+4}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-2(ab+bc+ca)+12}$ dir.
$ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3$ olduğunu biliyoruz (1). Paydada eksi işaretli olduğundan :
$\frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2-2(ab+bc+ca)+12}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+6}$
O zaman aşağıdaki eşitsizliği gösterelim:
$\frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+6}\geq 1$
=> $(ab+bc+ca)^2\geq a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+6$
İfadeyi açalım:
$a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2(ab+bc+ca)\geq a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+6$
=> $2(ab+bc+ca)\geq 6$ ve bu da $ab+bc+ca\geq 3$ olması gerek demektir ki biz bunu AGO yardımıyla zaten (1)'de demiştik. Eşitlik durumu Metin Can hocamın da dediği gibi $a=b=c=1$ durumunda ortaya çıkar.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Soru(arqady):
$a,b,c\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere $abc=1$. Gösteriniz ki

$\frac{1}{7a^2-5a+1}+\frac{1}{7b^2-5b+1}+\frac{1}{7c^2-5c+1}\geq 1$.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Soru(arqady):
$a,b,c\in \mathbf{R^+}$ olmak üzere $abc=1$. Gösteriniz ki

$\frac{1}{7a^2-5a+1}+\frac{1}{7b^2-5b+1}+\frac{1}{7c^2-5c+1}\geq 1$.

$7a^2=\frac{7}{b^2c^2}$ ve $5a=\frac{5}{bc}$ dönüşümlerini yazalım.

$\sum{\frac{1}{7a^2-5a+1}}=\sum{\frac{1}{\frac{7}{b^2c^2}-\frac{5}{bc}+1}}$
$=\sum{\frac{b^2c^2}{b^2c^2-5bc+7}}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-5(ab+bc+ca)+21}\geq 1$
Yani
$(ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2bc+ab^2c+abc^2)$
$=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a+b+c)\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-5(ab+bc+ca)+21$
=> $2(a+b+c)+5(ab+bc+ca)\geq 21$
Ki bu zaten aritmetik-geometrik ortalamadan bildiğimiz $a+b+c\geq 3$ durumunun bir sonucudur.