Öncelikle $a,b,c$ arasında bir bağıntı bulacağız. Çemberin merkezi olan $O$ noktası $[CD]$ kenarının orta noktasıdır. Çemberin yarıçapı $\dfrac{c}{2}$ olduğundan $AOD$ eşkenar üçgeninde $|AD|=\dfrac{c}{2}$ olur. Ayrıca $ADC$ dik üçgeninde $m(\widehat{ADC})=60^\circ $ olduğundan $|AC|=\dfrac{c\sqrt 3}{2}$ dir. Şimdi $ABC$ üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak
$$ \dfrac{3c^2}{4} = a^2 + b^2 -2ab\cos 120^\circ $$
olup
$$ 3c^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4ab \tag{1}$$
eşitliği elde edilir.
Şimdi $(1)$ eşitliğini de göz önüne alarak problemimizin ilk kısmındaki eşitsizliği ispat edelim:
$ c \geq a + b \iff 3c^2 \geq 3(a + b)^2 $
$ \iff 4a^2 + 4b^2 + 4ab \geq 3a^2 + 3 b^2 + 6ab $
$ \iff a^2 + b^2 -2ab \geq 0 $
$ \iff (a-b)^2 \geq 0 $
elde ederiz. Bu son eşitsizlik doğru olduğundan ilk $ c \geq a + b$ eşitsizliği de doğrudur. Ayrıca $(a-b)^2 \geq 0$ ifadesine göre, eşitlik durumunun sağlanması ancak $a=b$ halinde mümkündür.
Şimdi de $\left| \sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} \right | = \sqrt{c - a - b}$ eşitliğini kanıtlayalım. Ayrıca sağ taraftaki kök ifadenin içi $c-a-b \geq 0 $ olduğuna da dikkat edelim.
$\left| \sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} \right | = \sqrt{c - a - b}$
$\iff (c+a) + (c+b) - 2\sqrt{(c+a)(c+b)} = c-a-b $
$\iff c + 2a + 2b = 2\sqrt{(c+a)(c+b)} $
$\iff c^2 + 4a^2 +4b^2 + 4ac + 4bc + 8ab = 4c^2 + 4ab + 4ac + 4bc $
$\iff 3c^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4ab $
Son eşitlik $(1)$ denklemi olup doğru olduğundan $\left| \sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} \right | = \sqrt{c - a - b}$ eşitliği de doğrudur $\blacksquare$
