Tamkare Toplamı

[Metin Can Aydemir]

$p$, $4k+1$ formunda bir asal sayı olsun.Her $p$ asal sayısı için $a^2+b^2=p$ olacak şekilde bir $(a,b)$ pozitif tamsayı çifti bulunabileceğini gösteriniz.

NOT: İspatını bulamamış olmama rağmen küçük değerlerde $(a,b)$ çifti sayısının $1$ olduğunu gördüm(simetriğini saymazsak). Bunu da ispatlayan olursa ve paylaşırsa sevinirim.

[Dogukan6336]

$ay \equiv x (mod p)$ denkliği  $p$ asal olduğundan her zaman çözülebilir. Tabii $a$ da $p$ ile aralarında asal olacak. Thue lemma der ki, belli bir $a$ sayısı alalım, bu denkliğin çözümlerden en az biri için,

                                                         

                    $0<x,y<\sqrt{p}$

şartı sağlanır.

$p=4k+1$ olan bir asal için $a^2 = -1 (mod p)$ nin çözülebileceğini biliyoruz. O halde

$ay \equiv x (mod p)$
$a^2y^2 \equiv x^2 (mod p)$
$x^2 + y^2 \equiv 0 (mod p)$

$0<x^2 + y^2 < 2p$ olduğundan bunun için tek çare $x^2+y^2 = p$ olmasıdır.