Tübitak Lise 2. Aşama 2008 Soru 2

[geo]

• $\dfrac{7^{p-1}-1}{p}$ nin tam kare olmasını sağlayan tüm $p $ asal sayılarını belirleyiniz.
• $\dfrac{11^{p-1}-1}{p}$ nin tam kare olmasını sağlayan tüm $p$ asal sayılarını belirleyiniz.

(Şahin Emrah)

[geo]

(Mehmet KAYSİ)

• • $p \leq 3$ ise
    $p=2$ için ifadenin tamkare olmadığı görülür. $p=3$ ifade $16$ ya eşit olur, $p=3$ ifadeyi tamkare yapar.
    
  • $p>3$ ise
    $p=6k-1$, $p=6k+1$, $k \in \mathbb{N}$ olabilir. İfadeyi düzenleyelip çarpanlara ayıralım.
    $$\left(7^{\frac{p-1}{2}}-1\right)\left(7^{\frac{p-1}{2}}+1\right)=pa^2$$  $$A=7^{\frac{p-1}{2}}-1, B=7^{\frac{p-1}{2}}+1$$ olsun.
    $A$ ve $B$ sayılarının EBOB'u $B-A=2$'yi böleceği için ve iki sayı da çift olduğundan $(A,B)=2$ olur.
    
    O zaman $b, c \in \mathbb{N}$ ve $(b,c)=1$ olmak üzere $A=2c^2, B=2pb^2$ ya da $A=2pb^2, B=2c^2$ olmak zorundadır.
    
    1. Durum $A=2c^2, B=2pb^2$ ise
    $A=7^{\frac{p-1}{2}}-1=2c^2$ ise $-1\equiv 2c^2  \mathrm{(mod 7)}$ ki bunun da çözümü yoktur.
    
    2. Durum $A=2pb^2, B=2c^2$ ise
    $6|pa^2$ ve $(p,6)=1$ olduğundan $36|pa^2$ olur.
    $pa^2=(7-1)\left(7^{p-1}+7^{p-2}+ \ldots +7+1\right)$ 36 ile bölünüyorsa sağ taraf 6 ile bölünmelidir. Sağ taraf mod 6'da $p-1$ e denk olduğundan $6|p-1$ bulunur, yani $p=6k+1$ olmalıdır.
    $B=2c^2$ ve $p=6k+1$ ise $7^{3k}+1=2c^2$ dir. Çarpanlara ayıralım:
    $\left(7^k+1\right)\left(7^{2k}-7^k+1\right)=2c^2$.
    $\left(7^{2k}-7^k+1\right)-\left(7^k+1\right)\left(7^k-2\right)=3$ olduğundan bu iki sayının EBOB'u 1 veya 3 olabilir. Her iki sayı da 3 ile bölünmediğinden bu iki sayının EBOB'u 1 olur.
    $m, n$ tamsayılar olmak üzere, $7^k+1=2n^2$, $7^{2k}-7^k+1=m^2$ olmak zorundadır. Fakat $7^{2k}-7^k+1$ sayısı $\left(7^k-1\right)^2$ ile $(7^k)^2$ arasında olduğu için tamkare olamaz. Bu durumdan hiç çözüm gelmez.
    
  Tek çözüm $p=3$ tür.
  
• 
  
  • $p \leq 3$ ise
    $p=2,3$ için ifadenin tamkare olmadığı görülür.
    
  • $p>3$
    Bir önceki sorudaki adımları 7 yerine 11 için tekrarlayalım.
    
    1. Durum $A=2pb^2, B=2c^2$ ise
    $ B=11^{\frac{p-1}{2}}+1=2c^2$, yani $11^{\frac{p-1}{2}}+1 \equiv 2c^2 \mathrm{(mod 11)}$ ifadesinin çözümü olmadığı için buradan çözüm gelmez.
    
    2. Durum $A=2c^2, B=2pb^2$ ise
    $p=4k+1$ ise $ A=\left(11^k-1\right)\left(11^k+1\right)=2c^2$ $ \left(11^k+1\right)-\left(11^k-1\right)=2$ ve sayılar çift olduğundan $\left(11^k-1,11^k+1\right)=2$ olur. O zaman, $11^k-1=2m^2$ ve $11^k+1=4n^2$ olacak şekilde $m,n$ tamsayıları vardır. Fakat burada 2. denklemin çözümü yoktur. ($11^k=\left(2n\right)^2-1$)
    
    $p=4k+3$ ise, $ 3|11^{4k+2}-1=pa^2$ ve $(p,3)=1$ olduğundan $9|11^{4k+2}-1$ olur. Bu durumda $6|4k+2=p-1$ olur, $p\equiv 3 \mathrm{(mod 4)}$ ve $p\equiv 1 \mathrm {(mod 6)}$ ise $p\equiv 7 \mathrm{(mod 12)}$ olur. $p=12l+7$ olsun.. O zaman $ A=11^{6l+3}-1=2c^2$ olur. Çarpanlarına ayıralım, $ \left(11^{2l+1}-1\right)\left(11^{4l+2}+11^{2l+1}+1\right)=pa^2$. $2l+1=t$ ($t$ tek tamsayı) diyelim. $\left(11^{2t}+11^t+1\right)-\left(11^t-1\right)\left(11^t+2\right)=3$ olduğundan bu iki sayının EBOB'u 1 veya 3 olabilir. Fakat iki sayı da 3 ile bölünmez, dolayısıyla EBOB 1 dir. EBOB=1 ve $ 11^{2t}+11^t+1$ tek olduğundan $ 11^{2t}+11^t+1$ tamkare olmak zorundadır. Fakat $ \left(11^{t}\right)^2<11^{2t}+11^t+1<\left(11^t+1\right)^2$ olduğundan çözüm gelmez.
    
    
  Bu şartı sağlayan $p$ asalı yoktur.