Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Haziran 08, 2016, 10:43:33 ös
-
a,b,c;[2,8] aralığında üç reel sayıdır. Buna göre ispatlayınız ki,
$$2(a^3 + b^3 + c^3) \leq 33abc$$
-
Genelliği bozmadan $a \geq b \geq c$ olsun.Öncelikle $a^3+16 \leq 66a$ olduğunu gösterelim,
tüm terimleri sola atar ve çarpanlarına ayırırsak $\Rightarrow$ $(a-8)(a^2 +8a-2) \leq 0$ olur. $a \leq 8$ olduğundan $(a^2 +8a-2) \geq 0$'ı göstermeliyiz. $a, [2,8]$ aralığında olduğundan bu aşikardır. $a^3+16 \leq 66a$ 'a $(1)$ diyelim. Şimdi $b^3+66a \leq 33ab+8$ olduğunu gösterelim. Bu ifadeyide sola atıp çarpanlarına ayırırsak, $(b-2)(b^2 +2b-33a+4) \leq (b-2)(a^2-31a+4) \leq 0$ olduğunu ,yani $(a^2 -31a+4) \leq 0$ olduğunu göstermeliyiz. Bu ise a, [2,8] aralığında yani bu polinomun köklerinin oluşturduğu aralığın içinde olduğundan bu doğrudur.(Bu polinomun kökleri $x_1$ ve $x_2$ olsun, $x_1 \leq 2$ ve $8 \leq x_2$ olduğunu göstermek zor değil.) Buradan $b^3 +66a \leq 33ab+8$'e $(2)$ diyelim.Şimdi $c^3 +33ab \leq \frac {33abc}{2} +8$ olduğunu gösterelim. Bu ifadeyide sola atıp düzenlersek $(c-2)(c^2+2c-\frac{33ab}{2} +4) \leq 0$ bulunur. $c^2+2c -\frac{33ab}{2}+4 \leq a^2 +2a - \frac{33a.2}{2}+4 = a^2-31a +4 \leq 0$ olduğunu biliyoruz. Burada $c^3 +33ab \leq \frac {33abc}{2} +8$ ' e $(3)$ dersek $(1)+(2)+(3)$'den istenen eşitsizliğe ulaşılır.