Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 23

[geo]

$\{1, 2, \dots , n\}$ kümesinin, $1\leq  r \leq n$ olmak üzere, $r$ elemanlı altkümelerinin en küçük elemanlarının aritmetik ortalaması nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{n+1}{r+1}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{r(n+1)}{r+1}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{nr}{r+1}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{r(n+1)}{(r+1)n}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{A}$

En küçük elemanı $1\leq i \leq n+1-r$ olan alt küme sayısı $\dbinom{n-i}{r-1}$ dir. O halde aradığımız aritmetik ortalama: $$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n+1-r} i \cdot \dbinom{n-i}{r-1}}{\dbinom nr}.$$
Üstteki toplamı
$ \binom{r-1}{r-1} $

$+ \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1}$

$\quad \vdots  $

$+ \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1} + \cdots + \binom{n-2}{r-1}$

$ + \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1} + \cdots + \binom{n-2}{r-1} +  \binom{n-1}{r-1} $

şeklinde yazabiliriz.

Sütun-Toplam Özdeşliği: $\sum\limits_{r=c}^{n} \dbinom{r}{c} = \dbinom {n+1}{c+1}$

Binom katsayıları arasındaki Sütun-Toplam özdeşliğini her satıra uygularsak,

$ \binom{r}{r} $

$+ \binom{r+1}{r}$

$\quad \vdots  $

$+ \binom{n-1}{r}$

$ + \binom{n}{r} $

elde ederiz. Bunları da aynı özdeşlikten toplarsak $\binom{n+1}{r+1}$ elde ederiz.
$$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n+1-r} i \cdot \dbinom{n-i}{r-1}}{\dbinom nr} = \dfrac{\dbinom {n+1}{r+1}}{\dbinom nr} = \dfrac {n+1}{r+1}. \blacksquare$$

[geo]

$\{1,2,\dots, n\}$ kümesinin $r$ elemanlı bir alt kümesinin en küçük elemanı $a$ olsun. Bu alt kümeyi $a$ kez yazalım. Bu alt kümelerin her birine $x=0,1,a-1$ sayılarından birini tam olarak bir kez ekleyelim. $x$ yeni alt kümenin en küçük elemanı, $a$ da ikinci en küçük elemanı olur. Bu yeni alt kümeler $\{0,1,2,\dots, n\}$ kümesinden seçilen $r+1$ elemanlı alt kümeler olacaktır. Bu durumda ağırlıklı toplam $\binom{n+1}{r+1}$, toplam alt küme sayısı da $\binom{n}{r}$ olacaktır. Aritmetik ortalama da $\dfrac{\binom{n+1}{r+1}}{\binom nr} = \dfrac{n+1}{r+1}$ olacaktır.