Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 03

[geo]

Başlangıçta bütün birim kareleri beyaz olan $m\times n$ bir tahtayı, sonuçta, ortak kenara sahip herhangi iki kareden biri siyah biri beyaz olacak şekilde boyamak istiyoruz. Boyama işleminin her adımında tahta üstünde $2 \times 2$ bir kare seçilerek, beyaz birim kareleri siyaha, siyah birim kareleri beyaza boyanıyor. Aşağıdakilerden hangi $(m, n)$ sıralı ikilisi için, tahta istenilen biçimde boyanabilir?

$
\textbf{a)}\ (3,3)
\qquad\textbf{b)}\ (2,6)
\qquad\textbf{c)}\ (4,8)
\qquad\textbf{d)}\ (5,5)
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$4\times 4$ bir tahtayı ele alalım. Tahtanın satırlarını $A,B,C,D$ diye, sütunlarını da $1,2,3,4$ diye adlandıralım.
Boyanacak $2\times 2$ lik parçanın sol-üst köşesi $4\times 4$ lük tahtanın hangi karesine geliyorsa o kareye bir $+$ koyalım.
Örneğin aşağıdaki gibi bir boyama

$\begin{array}{c|c|c|c|c|}
&1&2&3&4 \\ \hline
A&+&+&& \\ \hline
B&+&&+& \\ \hline
C&&+&+& \\ \hline
D&&&& \\ \hline
\end{array}$

sonucu hangi karenin kaç kez boyandığını gösterecek olursak

$\begin{array}{c|c|c|c|c|}
&1&2&3&4 \\ \hline
A&1&2&1&0 \\ \hline
B&2&3&2&1 \\ \hline
C&1&2&3&2 \\ \hline
D&0&1&2&1 \\ \hline
\end{array}$

elde ederiz. Komşu kareler teklik çiftlik açısından farklı olduğu için soru istenilen şekilde bir boyama elde etmiş olduk.

Bu şekilde boyanan $4\times 4$ lük blokları birleştirerek $4m\times 4n$ lük bloklar elde edebiliriz. Bu durumda, $(4,8)$ çifti için istenen biçimde boyama yapabiliriz.