limitleri mevcut olan ifadeler çok anlamlı olmasa da düşünce yolumu yayınlayayım.
Bize $E\subset \mathfrak{L}$ olduğu verilmiş yani $E$ altkümesini $\mathfrak{L}$ uzayının kapsadığı bazı-veya tüm- fonksiyonları içinde bulunduran bir altküme olduğunu söyleyebiliriz. Bu altküme içinde $f(a),f(b)$ gibi iki alt fonksiyon tanımlanmış ve bu fonksiyonların periyodik olduğu söylenmiş. Şimdi Test uzayındaki $(\mathfrak{L})$ tüm fonksiyonların kümesi $\mathfrak{C}^{\infty}$ olsun. Matematik dünyasında örnek verildiği gibi bu fonksiyonlara $$f\left( x\right) =\begin{cases} exp\dfrac {1} {\left( x-a\right) \left( x-b\right) },x\in \left[ a,b\right] \\ 0,x\not\in \left[ a,b\right] \end{cases}$$ fonksiyonu, $\textit{Heaviside,dirac delta}$ fonksiyonları örnek verilebilir. Burada $\textit{Heaviside,}$ ve $\textit{dirac delta}$ fonskiyonlarını kullanacağız.
Şimdi $\mathfrak{L}=\mathfrak{L}(R^{\infty})$ alalım. Öyle ki $f$ test fonksiyonu $R^{\infty}$ uzayında sonsuz kere türevli olabilsin.
$E=\{\begin{cases} exp(-x^2),x\in\mathfrak L \\ 0,x\not\in \mathfrak L \end{cases}, =\begin{cases} exp\dfrac {1} {\left( x-a\right) \left( x-b\right) },x\in \left[ a,b\right] \\ 0,x\not\in \left[ a,b\right] \end{cases},\dots\}$ olsun.
$f(a)$ ve $f(b)$ periyodik olduğu için, içinde sonsuza yakınsayan ve birbirini kesmeyen, başlangıç değerleri $m$ veya $k$ bitiş değerleri $n$ veya $l$ ile gösterilen şekildeki gibi $t$ eğri bulunsun.
İspatlamamız gereken, $a,b \rightarrow \infty$ iken $f$ fonksiyonunun tüm eğrilerinin limitlerinin toplamının yakınsadığı iki farklı kümenin bulunabileceği göstermek olacak.
$\textit{Slyvester Teoremi:}$ Tek bir doğru üzerinde olmayan her sonlu reel sayı kümesinde sadece $2$ noktadan geçen en az $1$ doğru vardır.
$\textit{Slyvester Teoremi}$ gereği teğetlerin başlangıç ve bitiş noktalarının eksenlere izdüşümlerini sonsuzda alırsak, sadece $1$ teğetten en az $1$ doğru geçeceği için, izdüşümleri mutlaka bir bölge oluşturur. Bu bölgenin değerini tanımlayacağımız $\textit{Pürüzsüz integral}$ ile hesaplamaya çalışacağız.
$\textbf{Pürüzsüz İntegral:}$
Sonsuza yakınsayan boyutlu test uzayımızdaki izdüşümler ile oluşturduğumuz bölgenin değerini bulmak için bu integrali kullanalım ($\int^{prsz}= \lim _{a\rightarrow \infty }\dfrac {1} {a}\sum _{a=1}^{\infty }f\left( \lambda\right);$ Kısacapürüssüz=prsz.
$$\{m,n\}\int^{prsz} t(\infty)dt-\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)dx$$
$$\Rightarrow t(\infty) = t \rightarrow \infty \Rightarrow$$ taylor açılımından
$$\Rightarrow \sum _{t=0}^{\infty }\dfrac {f^{t}\left( a\right) } {t!}\left( x-a\right) ^{t}$$
$a$ yerine kolaylık için $m,n$ yazalım.
$$\Rightarrow \boxed{\int^{prsz} \sum _{t=0}^{\infty }\dfrac {f^{t}\left( \{m,n\}\right) } {t!}\left( x-\{m,n\}\right) ^{t}dt-f(0)} \longrightarrow f(a)$$
bulduk.
Şimdi $f(b)$ kümesi için $\textit{Heaviside}$ fonksiyonunu uygulayalım.
$\textbf{Hatırlatma:}$ $\mathfrak L$ uzayındaki her sürekli lineer fonksiyona distribüsyon denir.$\textit{Lineerlik koşulu}$ $\lambda\in \mathbb{C},f,g\in \mathfrak{L},T\in \mathfrak{L'}$(distrübüsyon uzayını temsil eder), $T(\lambda.(f+g))=\lambda(T(f)+T(g))$. Heaviside fonksiyonunun distürübüsyonel türevi dirac fonksiyonudur. Yani dirac fonksiyonunun distiribüsyonel integrali Heaviside fonksiyonudur. Kısaca Distiribüsyonel=dist
$$\int^{dist}\int_{- \infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)dx=H(x)$$
$$\Rightarrow \int^{dist}f(0)=H(x)$$
$f(b)$ kümesinde eğrilerin başlangıç ve bitiş noktlarını $k,l$ ile ifade ediyoruz.
$$\boxed{\int^{prsz} \sum _{t=0}^{\infty }\dfrac {f^{t}\left( \{k,l\}\right) } {t!}\left( x-\{k,l\}\right) ^{t}dt-\int^{dist}f(0)dx}\longrightarrow f(b)$$
bulunur.
$$\lim_{t\rightarrow \infty} \int^{prsz} \sum _{t=0}^{\infty }\dfrac {f^{t}\left( \{m,n\}\right) } {t!}\left( x-\{m,n\}\right) ^{t}dt-f(0) $$ =$$ \lim_{t\rightarrow \infty}\int^{prsz} \sum _{t=0}^{\infty }\dfrac {f^{t}\left( \{k,l\}\right) } {t!}\left( x-\{k,l\}\right) ^{t}dt-\int^{dist}f(0)dx$$
İfadesi kolayca görülebildiği üzere $$\lim_{t\rightarrow \infty}\int^{dist}f(0)dx=\lim_{t\rightarrow \infty}f(0)$$,
Ve $a,b\rightarrow \infty $ iken $m,n\rightarrow k,l\rightarrow \infty$ olacak bu da bizim istediğimiz şey idi. $\square$
