$n\ge 7$ için $\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$
Olduğundan dolayı;
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1 i=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1 i+\dfrac{1}{n+1}\le \sqrt n +\dfrac{1}{n+1}$
Olur ve ;
$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$ bu eşitsizliği ispatlamak işleri çözüyor.
Neden?
Çünki;
$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1i \le \sqrt n$ varsayıp;
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac1i \le \sqrt {n+1}$ olduğunu göstermemiz gerekiyor.
$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1}$ bununla biraz oynarsak;
$\sqrt n+\dfrac1 {n+1}\le\sqrt{n+1} \quad\equiv\quad \dfrac1 {n+1}\le \sqrt{n+1}-\sqrt n$
$\equiv\quad \dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}\le n+1$
$\equiv \quad \left(\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)\dfrac1{\sqrt{n+1}-\sqrt n}=\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$
Öte yandan son eşitsizlik olan, $\sqrt{n+1}+\sqrt n \le n+1$ ,bu eşitsiziliği kanıtlamak için;
$\sqrt{n+1}+\sqrt n<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}$ ve doğal olarak
$2\sqrt{n+1}\le n+1$ eşitsizliğini kanıtlamamız gerek;
sadeleşme yaparsak;
$2\le \sqrt{n+1}$ bulunur ki bu eşitsizlik ,$\forall n\ge 3$ için geçerlidir.
İspatımız tamamlandı.$\Box$
Çözüm için Anıl Yalçın'a teşekkürler.
