Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1982 Soru 5

[geo]

$ABCDEF$ düzgün altıgeninin $AC$ ve $CE$ köşegenleri üzerinde $$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{CN}{CE} = r$$ olacak şekilde sırasıyla $M$ ve $N$ noktaları alınıyor. $B$, $M$, $N$ noktaları doğrudaş ise, $r$ yi belirleyiniz.

[geo]

$CM=EN \Rightarrow \angle NDE = \angle MBC \Rightarrow \angle NBC + \angle NDC = 120^\circ \Rightarrow \angle BND = 120^\circ$

$BC=CD$ ve $360^\circ - \angle BCD = 240^\circ = 2\cdot 120^\circ = 2 \cdot \angle BND$ olduğu için;
$C$ noktası, $B,N,D$ noktalarından geçen çemberin merkezidir. $CN=1$ dersek, $CE=\sqrt 3$, $r=\dfrac {\sqrt 3}3$.