Alan Sorusu {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$AB$ $||$ $CD$ ve $AB<CD$ olan bir $ABCD$ yamuğu alınıyor. $BC$ nin orta noktası $E$, $AD$ nin orta noktası $F$ olsun. $A(ABCD)=3\cdot A(ABEF)$ ve $DF$ nin orta noktası $K$, $EC$ nin orta noktası $L$ olsun. $A(FELK)/A(KLCD)$ oranı kaçtır?

[Lokman Gökçe]

$[DA$ ve $[CB$ ışınları $G$ de kesişsin. $Alan(ABG)=P$, $Alan(ABEF)=S$, $Alan(CDFE)=2S$, $|AB|=x$, $|EF|=y$, $|CD|=z$ dersek orta taban özelliğinden $2y=x+z$ dir. Benzer üçgenlerde, alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir. Bunu kullanalım:

$ABG \sim FEG$ olduğundan $\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{P+S}{P}=1+\dfrac{S}{P}$

$ABG \sim DCG$ olduğundan $\dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{P+3S}{P}=1+3\dfrac{S}{P}$

eşitliklerinden $\dfrac{3y^2-z^2}{x^2}=2$ olur. Bu eşitlikte $z=2y-x$ yazarsak $y^2-4xy+3x^2=0$ elde edilir. Buradan $y=x$ veya $y=3x$ tir. Ancak $z>y>x$ olduğundan $y=3x$ ve $z=5x$ tir. Buna göre $S=8P$ dir. $DCEF$ yamuğunda orta taban özelliğinden $|KL|=\dfrac{y+z}{2}=4x$ tir. Dolayısıyla

$ \dfrac{Alan(KLG)}{Alan(ABG)}=\dfrac{(4x)^2}{x^2}$ olduğundan $Alan(KLG)=16P$ dir. Böylece $Alan(FELK)=7P$, $Alan(KLCD)=9P$ olup istenen alanlar oranı $\dfrac{7}{9}$ dur.