Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: AtakanCİCEK - Ocak 14, 2019, 06:53:15 ös
-
$m$ pozitif tamsayısı için $13^m-1$ ifadesinin $m=1$ dışındaki durumlarda en az $3$ asal çarpanı olduğunu gösteriniz.
-
Öncelikle $13^{m}-1$ sayısının her $m$ için $2$ ve $3$'e bölünebileceği aşikardır. Eğer $m=2n$ ise $$13^{2n}-1\equiv 169^n-1\equiv 1^n-1\equiv 0 (mod 7)$$ olduğundan $m$ çift ise $42$ ile bölünür ve en az $3$ asal böleni olmuş olur.
Eğer $m=2n+1$ ise farzedelim ki $13^m-1$ sayısı sadece $2$ ve $3$ ile bölünsün. $$13^{2n+1}-1\equiv 13\cdot 169^n-1\equiv 5\cdot 1^n-1\equiv 4(mod8)$$ olduğundan $13^m-1$ sayısı $4$ ile bölünür fakat $8$ ile bölünmez .Dolayısıyla $13^m-1=4\cdot 3^a$ formatında olmaldır. Kuvvet Kaydırma Teoremi uygulayalım, $$v_{3}(4\cdot 3^a)=a=v_{3}(13^m-1)=v_{3}(13-1)+v_{3}(m)=v_{3}(m)+1$$ Buradan $v_{3}(m)=a-1$ bulunur. Dolayısıyla $m=k\cdot 3^{a-1}$ formatında olmalıdır.$$4\cdot 3^a=13^m-1=13^{k\cdot 3^{a-1}}-1\geq 13^{3^{a-1}}-1$$ $a>1$ olduğunda $13^{3^{a-1}}-1>4\cdot 3^a$ olacağı aşikardır. Dolayısıyla kabulumuz yanlıştır. Yani $13^m-1$ sayısının en az $3$ asal böleni vardır.