Yanıt:$\boxed{B}$
Soruda istenen ifadeye $a$ diyelim.
$\dfrac{13^m+p.2^n}{13^m-p.2^n}=a$ diyelim. İçler dışlar çarpımı yapıp düzenlersek ifademiz
$$(1+a).p.2^n=13^m.(a-1)$$
$4$ bilinmeyenli diyafont denkleme dönüşür. Bu ifadeden yola çıkarak
$p.2^n=13^m.\dfrac{a-1}{a+1}$ haline gelir. Sağ taraf birlikte düşünüldüğünde tamsayı olmalıdır.
$p.2^n=13^m-\dfrac{2.13^m}{a+1}$ haline gelir. Buradan
$a+1=2$,$a+1=1$, $a+1=-1$, $a+1=-2$, $a+1=13^k$, $ a+1=-13^k$, $a+1=2.13^k$, $a+1=-2.13^k$; ($k \leq m$) eşitlikleri elde edilir. Bu ifadelerden eşitliği mümkün olan durumları bulalım.
Eşitliğin sol tarafı $0 \pmod 2$ olduğundan eşitliğin sağ tarafında da ifade çift olmalıdır. $13^m\equiv 1 \pmod 2$ olduğundan $\dfrac{2\cdot 13^m}{a+1}\equiv 1 \pmod 2$ olmalıdır. Bunun için $a+1$ çift olmalıdır. $a>0$ olduğu da göz önüne alınırsa
$a+1=2$ veya $a+1=2\cdot 13^k$, $k \leq m$ olabilir.
$1)$ $a+1=2$ olması durumunda $2.p.2^n=0$ olur ve $2^n>0$ ve $p>0$ olduğundan mümkün değildir.
$2)$ $a+1=2.13^k$, $k\leq m$ olması durumunda $a=2.13^k-1$ olur ve
$p.2^n=13^m-13^{m-k}$ elde edilir. $m\neq k$ için ifade $13^g.(13^t-1)$,$g\in N$ ve $t\in N$ olması gerektiğinden daima $12$ ve $13$ ile bölünür. dolayısıyla $p$ asal olamaz. $m=k$ olmalıdır.
$p.2^n=13^m-1$ Bu ifadenin içinde daima $12$ çarpanı bulanacağından ve başka tek çarpan daha bulunacağından $m>1$ için $p$ asal olamaz
İddia: $m>1$ için $p.2^n=13^m-1$ ifadesine $13^m-1$ sayısının $2$ asal carpanı olan $p$ asal sayısı yoktur.
İspatı ise
bu adreste mevcuttur.
$m=1$ alınmalıdır.
$p.2^n=12$ olur. $n=2$ ve $p=3$ elde edilir.
$(m,n,p)=(1,2,3)$ elde edilir.
