Son İletiler

21

2024 / Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 4

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 04:40:42 ös »

Bir $a_1<a_2< \cdots <a_n$ tam sayı dizisinde, $1 \leq i < j \leq n$ olan bir $(a_i,a_j)$ ikilisi için $1 \leq k < \ell \leq n$ ve
$$\dfrac{a_{\ell}-a_k}{a_j-a_i}=2$$
olacak şekilde bir $(a_k,a_{\ell})$ ikilisi bulunuyorsa, $(a_i,a_j)$ ikilisine $\textit{ilginç}$ ikili diyelim. $n \geq 3$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n$ elemanlı bir dizideki ilginç ikili sayısının alabileceği en büyük değeri bulunuz.

(Ukrayna)

22

1997 / Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1997 Soru 03

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 04:10:59 öö »

Yanıt: $\boxed{D}$

\begin{align}
\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+a}+\dfrac{c+a}{a+b} & = \dfrac{a+b-c+c}{b+c}+\dfrac{b+c-a+a}{c+a}+\dfrac{c+a-b+b}{a+b} \\
& = \dfrac{a-c}{b+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{b-a}{c+a}+\dfrac{c+a}{c+a}+\dfrac{c-b}{a+b}+\dfrac{a+b}{a+b}\\
& = \dfrac{a-c}{b+c}+\dfrac{b-a}{c+a}+\dfrac{c-b}{a+b}+3\\
& = 1+3=4
\end{align}

23

2007 / Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 4

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 03:01:05 öö »

$p$ bir asal sayı ise $7p+3^p-4$ ifadesinin hiçbir zaman bir tam kare olamayacağını ispatlayınız.

24

2007 / Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 1

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 02:55:17 öö »

$a$ pozitif bir reel sayı olmak üzere, $a^3=6(a+1)$ olsun.
$$x^2+ax+a^2-6=0$$
denkleminin reel sayılarda çözümü olmadığını gösteriniz.

25

2008 / Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 3

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 02:44:14 öö »

$$\dfrac{p}{q}-\dfrac{4}{r+1}=1$$ denklemini sağlayan tüm $p$, $q$, $r$ asal sayılarını bulunuz.

26

2008 / Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 1

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 02:09:50 öö »

Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan tüm $a$, $b$, $c$, $d$ reel sayılarını bulunuz :

\[ \left\{\begin{array}{cc}a + b + c + d = 20, \\
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 150. \end{array} \right.\]

27

1996 / Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 18

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 14, 2024, 01:30:52 öö »

Yanıt: $\boxed{C}$

\begin{align}
1^3+3^3+5^3+ \cdots +101^3 & = (1^3+2^3+3^3+ \cdots +100^3+101^3) - (2^3+4^3+ \cdots +98^3+100^3) \\
& = \dfrac{101^2 \cdot 102^2}{2^2}-2^3(1^3+2^3+ \cdots +50^3)\\
& = \dfrac{101^2 \cdot 102^2}{2^2}-8 \cdot \dfrac{50^2 \cdot 51^2}{2^2}\\
& = 101^2 \cdot 51^2 - 2 \cdot 50^2 \cdot 51^2\\
& = 51^2(101^2-2 \cdot 50^2)\\
& = 2601 \cdot 5201
\end{align}

28

Analiz-Cebir / Ynt: Romanya JBMO TST 2018 #5.2

« Son İleti Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ Nisan 13, 2024, 06:21:59 ös »

Farklı bir çözüm verelim. Holder Eşitsizliği'ni kullandığımızda
$$LHS^2.\sum_{cyc}{a}=\left(\sum_{cyc}{\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+2b\right)^3}}}\right)^2\left(\sum_{cyc}{a}\right)\geq \left(\sum_{cyc}{\dfrac{a}{a+2b}}\right)^3\overbrace{\geq}^{?} 1$$
$$\Longleftrightarrow \sum_{cyc}{\dfrac{a}{a+2b}}\geq 1$$
sondaki ifade Titu Eşitsizliği'nden açıktır.

29

1998 / Balkan Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 3

« Son İleti Gönderen: matematikolimpiyati Nisan 13, 2024, 05:33:26 ös »

$T$, $ABC$ üçgeninin içinde bir nokta olsun. $ABC$ üçgeninin içinde ve üstünde bulunan tüm noktaların ($T$ hariç) kümesini $S$ ile gösterelim. $S$ kümesinin ayrık kapalı doğru parçalarının birleşimi olarak yazılabileceğini gösteriniz. (Kapalı doğru parçası, her iki uç noktasını da içerir.)

(Sırbistan Karadağ)

30

Analiz-Cebir / Ynt: Romanya JBMO TST 2018 #5.2

« Son İleti Gönderen: ygzgndgn Nisan 13, 2024, 05:02:01 ös »

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ fonksiyonu konvekstir. Eşitsizliği
$$\sum_{cyc} af(a+2b) \geq f(\sqrt[3]{a+b+c})$$ olarak yazabiliriz. Jensen Eşitsizliğinden
$$\sum_{cyc} af(a+2b) \geq (a+b+c)\cdot f\left(\frac{\sum_{cyc} a(a+2b)}{a+b+c}\right)=(a+b+c)\cdot f(a+b+c)$$ gelir. $\sqrt[3]{a+b+c}=x$ dersek
$$x^3f(x^3)=\frac{x^3}{\sqrt{x^9}}=f(x)$$ olduğunu görürüz. İspat biter.