Yanıt: $\boxed{C}$
$(a_n)$ bir tam sayı dizisidir.
Verilen mutlak değerli denklemde her iki tarafın karesini alalım:
$$\begin{array}{rcl}
a_n^2 &=& a_{n-1}^2 + 4a_{n-1} + 4 \\
a_{n-1}^2 &=& a_{n-2}^2 + 4a_{n-2} + 4 \\
\vdots \\
a_{2}^2 &=& a_{1}^2 + 4a_{1} + 4 \\
\end{array}$$ olacaktır. Taraf tarafa topladığımızda,
$$a_n^2 = a_1^2 + 4\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i + 4(n-1)$$ olacaktır.
$n=2001$ ve $a_1 = 1$ için,
$$a_{2001}^2 = 1 + 4\sum\limits_{i=1}^{2000}a_i + 8000 \geq 0 \Rightarrow 4\sum\limits_{i=1}^{2000}a_i \geq -8001 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{2000}a_i \geq -2000$$ olacaktır. Peki, $\sum\limits_{i=1}^{2000} a_i = -2000$ eşitliğini sağlayan bir $(a_n)$ dizisi var mıdır?
Mutlak değerli eşitliği, her seferinde
$$a_n = - a_{n-1}-2$$ şeklinde çözersek,
$$\begin{array}{rcr}a_1 &=& 1 \\ a_2 &=& -3 \\a_3 &=& 1 \\ a_4 &=& -3 \\ \vdots \\ a_{1999} &=& 1 \\ a_{2000} &=& -3 \end{array}$$ elde ederiz. Bu durumda $\sum\limits_{i=1}^{2000} a_i = -2000$ dir.
