Tübitak Lise Takım Seçme 1994 Soru 3

[Lokman Gökçe]

Bir $25$-genin bütün kenarları ve köşegenleri kırmızı ve beyaza boyanırsa, köşeleri $25$-genin köşelerinde bulunup bütün kenarları aynı renk olan en az $500$ üçgen bulunacağını gösteriniz.

[geo]

Her çift renkli üçgenin tam olarak $2$ köşesinden çıkan kenarların biri beyaz, diğeri kırmızıdır. Her $i$ köşesinden $a_i$ kırmızı kenar çıkıyorsa, $24-a_i$ beyaz kenar çıkar. Her köşeden $a_i(24-a_i)$ adet çift renkli üçgen elde edilir. Her çift renkli üçgenin tam olarak bir tane daha çift renkli köşesi olduğundan toplam çift renkli üçgen sayısı  $\frac{1}{2}\sum^{25}_{i=1}{a_i(24-a_i)}$ olacaktır. Bu değer en çok $\frac{1}{2}\sum\limits^{25}_{i=1}{12\left(24-12\right)=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\cdot 25=1800}$ tane çift renkli üçgen olabilir. $25$ köşe $\binom{25}{3}=2300$ üçgen belirteceği için, bunlardan en az $2300-1800=500$ tanesi tek renklidir.