İlkel kök sorusu

[Dogukan6336]

Problem : (Doğukan N.)

$k+1$ tek asal sayı olmak üzere, $n$ sayısı $\dfrac {1} {k+1}$ sayısının periyodu olsun (Örnek : $1/7 = 0,142857...$ olup periyodu $142857$ dir.). Periyodun rakamları toplamına $m$ diyelim.

$10^x \equiv 1 (mod (k+1))$

denkliğini sağlayan en küçük $x$ sayısı $\Phi (k+1) = k$ olsun (Başka bir deyişle $10$ sayısı $mod(k+1)$ e göre ilkel kök). O halde $\dfrac {k.(k+1).n} {2}$ sayısının $m.(\dfrac {10^{k} - 1} {9})$ ifadesine eşit olduğunu gösteriniz.

[Eray]

Tam olarak nasıl bir çözüm ve cevap bekliyorsunuz? Verdiğiniz uzun sayı hesap makinesine yazılıp $171$ ile çarpılıp çıkan yeni uzun sayı cevap olarak yazılabilir örneğin. Hesap makinesi yasak derseniz sonuç biraz vakit ayırarak elle de bulunabilir
Soruyu ve amacını biraz açıklayabilirseniz sevinirim

[Eray]

Elinize sağlık. Fakat soruyu hazırlayan kişi için hariç, ifadesi böyle olan bir soruya böyle bir çözüm getirmek ne kadar kolaydır bilemiyorum
Benim fark edebildiğim şey sondan itibaren basamakların $1, 2, 4, 8$ diye gittiği idi. Dolayısıyla $n$ sayısının $20$'nin kuvvetlerinin toplamı olabileceğini düşündüm. Gerçekten de, $20^0 + 20^1 + \ldots + 20^{16} = \dfrac{20^{17}-1}{20-1}$ sayısı $n$ sayısına oldukça benziyor

Dipnot: Çözümünüzle ilgili düzeltmeleri de yazmadan geçmeyeyim. "primitive root" ifadesinin Türkçe karşılığı olarak Türkçe kökenli olan "ilkel kök" ifadesini kullanmanın daha doğru olduğunu düşünüyorum
Bir de $19$ sayısı $10$ modülüne göre değil, $10$ sayısı $19$ modülüne göre ilkel köktür

[Lokman Gökçe]

Selamlar Doğukan, hazırladığın soru için tebrik ediyorum. Eray'ın bahsettiği şekilde problemin bir kaba kuvvet sorusuna dönüşmemesi için bir önerim var. Sorunuzu:

$n$, $k$ basamaklı bir pozitif tamsayı ve $10$, $\mod k$ içinde bir ilkel kök olsun. $n$ nin rakamlarının toplamı $m$ olmak üzere $\dfrac {k(k-1)}{2}n$ değerinin $m\dfrac{10^{k-1}-1}{9}$ ifadesine eşit olduğunu ispatlayınız

biçiminde sorabilirsiniz. Bazı yazım hatalarım olabilir. Gerekli düzeltmeleri size bırakıyorum, iyi çalışmalar.