$a^2+b^2\geq 2ab$ ,$b^2+c^2\geq 2bc$ ,$a^2+c^2\geq 2ac$ eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa;
$18\geq 2(ab+bc+ac)\geq 0$ elde edilir.$(a+b+c)^2=9+2(ab+ac+bc) \Rightarrow (a+b+c)^2\geq 0$ buradan da $2(ab+bc+ac)\geq -9$ elde edilir.
bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanıp her iki tarafa $9$ eklenirse $27\geq 2(ab+bc+ac)+9 \geq 0 \Rightarrow 6\sqrt{3}\geq 2(a+b+c)\geq 0 \Rightarrow 6\sqrt {3}\geq abc+K\geq 0$ olur.
$A.G.O$'dan
$\dfrac {a+b+c}{3}\geq \sqrt [3]{abc} \Rightarrow \dfrac {(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
$K.A.O$'dan
$\sqrt {\dfrac {a^2+b^2+c^2}{3}}\geq \dfrac {a+b+c}{3} \Rightarrow 3\geq \dfrac {(a+b+c)^2}{9}$ her iki tarafı $\dfrac {2}{3}(a+b+c)$ ile çarparsak, $2(a+b+c)\geq \dfrac {(a+b+c)^3}{27}\geq abc$ ve buradan $K-abc \geq 0$ olur. İki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak,
$6\sqrt{3}\geq 2K\geq 0$ olur ve $K$'nın en büyük değeri $3\sqrt{3}$ bulunur.
kaçırdığım veya eksik yaptığım bir yer varsa düzeltin,İyi çalışmalar...
ArtOfMathSolving
