Fonksiyonel Denklem 30

[MATSEVER 27]

Tüm $x,y$ gerçel sayıları için;
$$f(yf(x)-x)=f(x)f(y)+2x$$
olmasını sağlayan bütün $f:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ fonksiyonlarını belirleyiniz.

[samienes06]

İlk olarak $x=0$ ve $y=0$ diyelim. $f(0)=f^2(0)$ olur. $f(0)=0$ veya $f(0)=1$ olabilir.

Bu sefer ise eşitlikte $y=0$ diyelim. $f(-x)=f(x)f(0)+2x$ olur.

$f(0)=0$ durumu için $f(x)=-2x$ gelir.

$f(0)=1$ durumu için eşitlik $f(-x)=f(x)+2x$ haline gelir. Çözümün polinom olduğunu düşünürsek orijinal denklemde $y=x$ dersek $f(xf(x)-x)=f^2(x)+2x$ eşitliği gelir. İki taraf da polinom olduğuna göre dereceleri de eşit olmalıdır. $f(x)$ n.dereceden bir polinom ise sol tarafın derecesi $n^2+n$  ve sağ tarafın ise $2n$ olmalıdır. $n$'i alabileceği değerler $0$ veya $1$'dir. $f(0)=1$ ihtimalini de göz önüne alırsak $f(x)=1$ veya $f(x)=ax+1$ şeklinde olmalıdır. Yeniden $f(-x)=f(x)+2x$ denkliğine dönüp bulduğumuz fonksiyonları yerine koyduğumuzda $f(x)=1$ çözümünün sağlanmadığını ve $f(x)=ax+1$ çözümü için de $a$'nın değerinin $-1$ olması gerektiğini görürüz.

Sonuç olarak çözümlerimiz $f(x)=-2x$ ve $f(x)=1-x$ olur.

(Polinom olmayan çözümü olmadığından emin olamadım eğer eksik çözüm varsa eklerseniz sevinirim.)

[Lokman Gökçe]

Katkınız için teşekkürler. Dediğiniz gibi muhtemelen verdiğiniz iki fonksiyondan başka çözüm yok ama emin olamıyoruz. Çözümdeki tek eksik nokta $f(0)=1$ durumunda $f$ nin polinom olduğu kabulüdür. Bu kabulü yapmadan çözümü tamamlarsak eksik nokta kapatılmış olacaktır. Çözüme ulaşabilirsek ekleyelim, iyi çalışmalar ...

[Eray]

Soruda verilen eşitliğe $P(x,y)$ diyelim.

$P(0,0)\ \Longrightarrow\ f(0) = \left( f(0) \right)^2 \ \Longrightarrow\ f(0)\in\{0,1\}$


Durum 1: $f(0)=0$

$P(-x,0)\ \Longrightarrow\ \boxed{f(x)=-2x\ ,\forall x}$ bir çözümdür.


Durum 2: $f(0)=1$

$P(x,0)\ \Longrightarrow\ $
$f(-x)=f(x)+2x\ , \forall x\ \tag1$
$P(x,-y)\ \Longrightarrow\ f\left( -yf(x)-x \right) = f(x)f(-y)+2x\ \overset{(1)}{\Longrightarrow}\ f(yf(x)+x)+2yf(x)+2x = f(x)\left(f(y)+2y\right)+2x$

$\Longrightarrow\ f(yf(x)+x)=f(x)f(y)\ ,\forall x,y\tag2$

$(2)$ eşitliğini soruda verilen eşitlikte kullanırsak$f(yf(x)-x)=f(yf(x)+x)+2x\ ,\forall x,y\tag3$elde ederiz. Elde ettiğimiz bu $(3)$ eşitliğine $Q(x,y)$ diyelim.


Herhangi bir $k\in\mathbb R$ seçelim. $f(k)$ için iki ihtimal söz konusudur.

İhtimal 1: $f(k)\neq0$

$Q\left(k,\dfrac{k}{f(k)}\right)\ \Longrightarrow\ f(0)=f(2k)+2k \ \Longrightarrow\ f(2k) = 1-2k$

İhtimal 2: $f(k)=0$

$(1) \ \Longrightarrow\ f(-k) = 2k$

$Q\left(-k,\dfrac{1}{2}\right) \ \Longrightarrow\ f(2k) = f(0)-2k \ \Longrightarrow\ f(2k) = 1-2k$


Dolayısıyla,$f(2k)=1-2k\ ,\forall k\tag4$elde etmiş olduk. Elde ettiğimiz bu $(4)$ eşitliğine $R(k)$ dersek, $R\left(\dfrac{x}{2}\right)$ ifadesi ile $\boxed{f(x)=1-x\ ,\forall x}$ sonucuna varırız. Bu da bir diğer çözümdür.


İncelemiş olduğumuz iki farklı durumun sonucunda çözümlerimizin $\boxed{f(x)=-2x\ ,\forall x}$ ve $\boxed{f(x)=1-x\ ,\forall x}$ fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz. Bu iki fonksiyonun sorudaki şartı sağladığı yerine yazarak kolayca doğrulanabilir.