Bölünebilme

[geo]

$100$ yaşındaki büyükbabanın hafızası bu sıralar pek iyi değil. Büyükbaba, geçen seneki ya da ondan önceki seneki doğum günü partisinde herkesin büyükbabanın yaşı kadar boncuktan oluşan tespih hediye ettiğini ve toplam beş basamaklı $x67y2$ sayısı kadar boncuğunun olduğunu hatırlıyor ama $x$ ve $y$ yi hatırlamıyor. Büyükbabaya, o doğum gününde kaç tespih hediye edilmişti?

(CRUX 593)

[Egemen]

Geçen sene ise;

Büyükbaba $99$ yaşındadır ve her tespihte $99$ boncuk vardır.

$x67y2\equiv 0 \pmod {99}$

$x67y2=100\cdot{100}x+67\cdot{100}+10y+2$

$100\cdot{100}x+67\cdot{100}+10y+2\equiv x+67+10y+2\equiv 0 \pmod {99}$

$x+67+10y+2\equiv 0 \pmod {99}$ $\Rightarrow$ $x+10y\equiv 30 \pmod {99}$

$x$ ve $y$ rakam olduğu için $x+10y < 100$ o zaman  $x+10y=30 \equiv x\equiv 0 \pmod {10}$

$x\neq0$ olduğu için çözüm yoktur.

İki sene önce ise;

Büyükbaba $98$ yaşındadır ve her tespihte $98$ boncuk vardır.

$x67y2\equiv 0 \pmod {98}$

$x67y2=102\cdot{98}x+4x+68\cdot{98}+36+10y+2$

$102\cdot{98}x+4x+68\cdot{98}+36+10y+2\equiv 4x+36+10y+2\equiv 0 \pmod {98}$

$4x+36+10y+2\equiv 0 \pmod {98}$ $\Rightarrow$ $4x+10y\equiv 60 \pmod {98}$

$x$ ve $y$ rakam olduğu için $4x+10y < 127$ o zaman  $4x+10y=60 \equiv 4x\equiv 0 \pmod {10}$

$x=5$,$y=4$ olmalıdır.

$56742 \div 98=579$