Fonksiyonel denklem

[alpercay]

$(f (x))^2=f (2x)+2f (x)-2$   ve $f(1)=3$ ise  $f (6)=?$

[Eray]

$f(6)$'yı bulabilmek için $\dfrac{6}{2^n}$ şeklinde bir değerin bilinmesi gerekir

[Lokman Gökçe]

Ben de verilen fonksiyonel denklemi sağlayan iki sabit fonksiyonu bulayım. $f(x)=c$ dersek $f(2x)=c$ olur. $c^2-3c+2=0$ denkleminden $c=1$ veya $c=2$ dir. $f(x)=1$, $f(x)=2$ sabit fonksiyonları iki özel çözümdür. Tüm çözümler bu iki fonksiyon mudur, bilmiyorum. Ancak $f(6)=1$ veya $f(6)=2$ gibi değerleri alabilir.

[alpercay]

 f (1)=3
veriliyor. Yazmayi unutmusum.

[muuurat]

$f (x)=2^x+1$

[alpercay]

Çözümünüzü paylaşır mısınız? Yanıtlar tek başına pek bir şey ifade etmiyor.

[muuurat]

Verilen eşitlik,

f(x+y) = f(x).f(y) - [f(x) + f(y)] + 2  (1)

eşitliğinde

y = x konulmasıyla elde edilir.

f(2x) = [f(x)]^2 - 2.f(x) + 2        (2)

 

(1) eşitliğini sağlayan Y = f(x)  (varsa)

(2) eşitliğini de sağlar.

 

f(1) = 3

f(2) = f(1+1) = 5

f(3) = f(1+2) = 9

f(4) = f(2+2) = 17    [Ya da;  f(4) = f(1+3) = 17 ]

f(5) = f(1+4) = 33

 

f(x) = 2^x + 1

[Lokman Gökçe]

muuurat bey açıklamanız için teşekkürler. Ancak (2) fonksiyonel denkleminin çözümleri (1) in çözümlerinin alt kümesidir. Yani (2) nin her çözümü (1) i de sağlar, fakat (1)'i sağlayan çözümler (2) yi sağlamayabilir. Bu bakımdan yaptığınız işlemler (2) nin bir çözümü olan $2^x+1$ için bir sezgi oluşturuyor.

(1) in başka çözümleri var mıdır ve varsa bunlar arasından (2) yi sağlayanlar var mıdır? Yoksa (2) denkleminin çözümü biricik midir? Bunlara da cevap bulmak gerekir.

Ben şahsen şöyle başlamayı tercih etmiştim:


$\begin{array}{llr}
 & f(2x)=f^2(x)-2f(x)+1+1 & \\
\implies &  f(2x)=\left( f(x) - 1\right)^2 +1 & \\
\implies &  f(4x)=\left( f(2x) - 1\right)^2 +1 = \left( f(x) - 1\right)^4 +1 & \\
& \vdots & \\
\implies &  f \left(2^nx \right)= ( f(x) - 1)^{2n} +1 & \\
\end{array}$

Burada $n$ bir pozitif tamsayıdır. Son eşitlikte $x$ yerine $\dfrac{x}{2^n}$ yazılırsa

$f(x)=\left(f \left(\dfrac{x}{2^n} \right) - 1\right)^{2n}+1$ olur. $f(x) \geq 1$ olduğu ve $n$ ne kadar büyük seçilirse seçilsin $f(x)$ in daima $\left(f \left(\dfrac{x}{2^n} \right) - 1\right)^{2n}+1$ ifadesine eşit kalacağını görüyoruz. Bu aşamadan sonra belki $n \to \infty $ için limite bakılarak bir yerlere varılabilir diye düşündüm. Fakat ilerleme sağlayamadım.

[alpercay]

Lokman Hocam  $f(x)-1=g(x)$   denirse $g(2x)=(g(x))^2$ eşitliğinden  $g(x)=a^x$  ve $f(x)=a^x+1$  ve $f(1)=3$  verisinden $a=2$ bulunup $f(x)=2^x+1$  bulunuyor. Sorunun orijinalinde (Apotemi yayınlarının sorusuymuş)  $f(6)$  sorulduğundan yanıt 65 oluyor. Ancak sizin de gösterdiğiniz gibi bu denklemle aslında 2 nin kuvvetlerinin görüntüleri bulunmuyor mu? Yani evet $f(6)$ değeri  (1) denkleminden bulunur ancak yine sizin işaret ettiğiniz gibi (1) in her çözümü (2) yi sağlamaz. Sonuç olarak bu sorunun hatalı olduğunu düşünüyorum. Bu arada çözüm için Doğan Dönmez Hocama teşekkür ederim.

[Lokman Gökçe]

Soruyu buraya da sordum. Alper bey'in dediği gibi $g(x)=f(x)-1$ alınırsa $g(2x)=g(x)^2$ olur denmiş. Bu da bize $f(x)$ yardımıyla $f(2x)$, $f(4x)$, ... vs değerleri bulabileceğimizi söyler. Diğer değerler için hiçbir şey söylemez. $f(1)$ verildi ancak $6$ sayısı, bir $n$ pozitif tamsayısı için $2^n\cdot 1$ biçiminde yazılamaz. Dolayısıyla $f(6)$ nın alabileceği sonsuz çoklukta değer vardır. $f(6)=65$ olması gerekmez.

[muuurat]

Bir örnek bulabilir misiniz? Denediğim tüm parçalanışlar aynı sonucu veriyor.
Bu arada düşünceleriniz çok öğretici. Bu şekilde matematik konuşmalar çok mutlu ediyor.

[Lokman Gökçe]

$f(x)=g(x)+1$ olsun ve $g$ fonksiyonunu da aşağıdaki gibi tanımlayalım

$g(x)= \left\{\begin{array}{cc} 1, & x= 3\cdot 2^n , n\in \mathbb Z & \mbox{ biçimindeki değerlerde } \\ 2^x , &  & \mbox{ diğer değerlerde} \end{array} \right. $

Bu $g$ fonksiyonunun da $g(2x)=g(x)^2$ özelliğini sağladığına dikkat edelim. Örneğin $g(6)=g(3)^2=1$ dir. Buna göre $f(6)=g(6)+1=2$ dir.

Not: yazım yanlışım varsa bildiriniz, kontrol etmeye vaktim yoktu.