Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2000 Soru 1

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ dik üçgeninin düzleminde ve $BC$ doğrusuna göre $A$ noktasının bulunmadığı tarafta $BDEC$ karesi çiziliyor. $\widehat{BAC}$ dik açısına ait açıortayın $[BC]$ ve $[DE]$ kenarlarıyla kesişim noktaları sırasıyla $F$ ve $G$ ile gösterilmek üzere, $|AB| = 24$ ve $|AC| = 10$ ise, $BDGF$ dörtgeninin alanını hesaplayınız.

[Metin Can Aydemir]

Pisagordan $\mid BC \mid=26$ bulunur. Açıortay teoreminden $\mid BF\mid =\dfrac{26\cdot 12}{17}$ ve $\mid FC\mid = \dfrac{26\cdot 5}{17}$ bulunur. $m(\widehat{ABC})=B$ dersek, $m(\widehat{AFC})=m(\widehat{AGE})=45^\circ +B$ olur. $F$'den $DE$'ye inilen dikmenin ayağı $K$ olsun. $$\tan(45^\circ+B)=\dfrac{\tan 45^\circ + \tan B}{1-\tan 45^\circ \cdot \tan B}=\dfrac{1+\tan B}{1-\tan B}=\dfrac{1+\dfrac{5}{12}}{1-\dfrac{5}{12}}=\dfrac{17}{7}=\dfrac{\mid KF\mid}{\mid KG\mid}=\dfrac{26}{\mid KG\mid}\Rightarrow \mid KG\mid =\dfrac{26\cdot 7}{17}$$ $$\Rightarrow \mid GD\mid = \mid KD\mid - \mid KG\mid=\mid BF \mid -\mid KG\mid=\dfrac{26\cdot 5}{17}$$ $$A(BDGF)=\dfrac{(\mid DG\mid + \mid BF \mid)\cdot \mid BD \mid}{2}=\dfrac{26\cdot 26}{2}=338$$

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE):

$|BC|=26$ dır. $[BE]$ köşegenini çizelim. $BE$ ile $AG$ doğrusunun kesişimi $O$ olsun. $m(\widehat{CAO}) = m(\widehat{CBO}) = 45^\circ $ olduğundan $CABO$ bir kirişler dörtgenidir. Böylece $ m(\widehat{OCB}) = m(\widehat{OAB}) = 45^\circ $ olup $O$ noktası karenin merkezidir. Merkezden geçen herhangi bir doğru, kareyi iki eş alana ayırır.
$$Alan(BDFG)=\dfrac{1}{2}Alan(BDEC) = \dfrac{1}{2}\cdot 26^2 = 338 $$
bulunur.