$y^2=x^3+23$ denklemi

[yasarfaith]

çözülememişlerden...

[alpercay]

y²=x³+23 denkleminin   önce çift sayılarda çözümünün olmadığını gösterelim.Bir sayının karesi mod 4 te 0,1  ve küpü de -1,0,1 olabilir.Buna göre  y²-x³=3(mod 4) denkliği x çift sayıları için sağlanmaz.Şimdi x  tek sayı olsun.O zaman x sayısı modulo 4 te  4k+1  ya da  4k+3  şeklinde ifade edilir.x=4k+1 olsun.Yerine yazılırsa
y²=k²-3k+2=0(mod 4) denkliğinde komple kalanlar yerine yazılarak denklemin çözümünün olmadığı görülür.
x=4k+3  alırsak  y²=2(mod 4) 9 olur ki  bu da modulo 4 te mümkün değildir.
Sorunun çözümünde  x=4k+1 için hatalı çözüm yapmışım.Aşağıda Lokman Hocam hem doğru çözümü yapmış hem de bu konuda bizi aydınlatmıştır.

[Lokman Gökçe]

Bu soru foruma üç kez soruldu diye hatırlıyorum. Kare kalan şeklinde dilimize çevrilen quadratic residue kavramı ile çözülebilen bir problem... kare kalan, Legendre sembolü ve kullanımı ile ilgili aşağıda küçük bir yazı hazırlamak şart oldu Kapsamlı bir olimpiyat çalışma kağıdı oluşsun diye örnek sayısını daha fazla yapacaktım ama zaman yetmezliğinden dolayı kısa kesiyorum. Bununla beraber kare kalanın kullanmı ile ilgili başka özelliklerin de verildiği http://mathworld.wolfram.com/QuadraticResidue.html linki de incelenerek yeni problemler kurulabilir. Ayrıca yazıda geçen özelliklerin ispatı Fethi Çallıalp'in sayılar teorisi isimli ince-zarif kitabında bulunabilir.